Nos EUA, a água quente é frequentemente gerada pelo forno. Estas unidades especialmente projetadas têm uma bobina dedicada na fornalha que permite água fria em uma extremidade, circula pela bobina e expele a água quente da outra. O benefício (como você sugere) é o uso de apenas um dispositivo para aquecimento da sala e da água. A desvantagem é que o forno principal é mantido ativo, mesmo em clima quente, para garantir o acesso contínuo à água quente, um sistema um pouco menos eficiente.
Em teoria, você poderia criar uma bobina de cobre para correr a água através de uma área aquecida do seu fogão. No entanto, isso apresenta inúmeros problemas complexos de temperatura, roteamento, vedação, todos os quais estão além da habilidade dos DIYers mais dedicados. Os riscos são vazamentos de gás, incêndio, explosão, vazamentos de água, inundações e uma praga de gafanhotos.
Não tente!