Como o AC está funcionando, o problema não está lá. O termostato é apenas um circuito de sinalização simples. Como você precisa agitar, parece sugerir que algo está errado com o termostato.
Alguns dos termostatos antigos têm um bulbo de vidro com uma gota de mercúrio montada no final de uma corda bimetálica. À medida que os metais se expandem, a lâmpada se inclina, permitindo que o mercúrio deslize para baixo e conclua uma conexão na base da lâmpada para sinalizar que a CA é acionada. Ao agitar o termostato, provavelmente o mercúrio está em contato.
Eu acho que essas chaves de mercúrio provavelmente foram usadas em sistemas com mais de 15 anos. Seu termostato pode ser apenas uma simples mola bimetálica, com os contatos fazendo uma conexão com outro conjunto de contatos em um controle deslizante. Agitar novamente também fará com que a mola oscile e dobre o suficiente para fazer o contato necessário.
De qualquer forma, é provável que haja um problema com essa mola bimetálica. Desde que você agitou o termostato, a corda bimetálica se deslocou ou ficou fora de calibração. Pode não haver mais tensão na primavera. Alguém recentemente esbarrou ou derrubou a parede em algum momento no passado?
Acho que sua melhor aposta é substituir todo o termostato por um digital mais novo. Você deve encontrar um em qualquer uma das grandes lojas de ferragens.