Modelo de Solow: Estado estacionário v Caminho de crescimento equilibrado

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Ok, estou tendo problemas reais para distinguir entre o conceito Steady State e o caminho de crescimento equilibrado neste modelo:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

Pediram-me para derivar os valores do estado estacionário do capital por trabalhador efetivo:

k^{*} = {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

Assim como a razão de estado estacionário de capital para produto (K / Y):

\frac{K^{S S}}{Y^{S S}} = \frac{s}{n + g + δ}

$\frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta }$

Eu achei as duas opções, mas também me pediram para encontrar o "valor em estado estacionário do produto marginal do capital, dY / dK". Aqui está o que eu fiz:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

M P K = \frac{d Y}{d K} = β K^{β - 1} (A L)^{1 - β}

$MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta }$

Substituindo K no estado estacionário (calculado quando se trabalha no estado estacionário para a razão K / Y acima):

K^{S S} = A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

M P K^{S S} = β (A L)^{1 - β} {[A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}]}^{β - 1}

$MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1}$

M P K^{S S} = β {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{β - 1}{1 - β}}

$MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }}$

Em primeiro lugar, preciso saber se este cálculo para o valor do estado estacionário do MPK está correto?

Em segundo lugar, me pediram para esboçar os caminhos temporais da razão capital-produto e do produto marginal do capital, para uma economia que converge para seu caminho de crescimento equilibrado "de baixo".

Estou tendo problemas para entender exatamente qual é o caminho de crescimento equilibrado, em oposição ao estado estacionário, e como usar meus cálculos para descobrir como devem ser esses gráficos.

Desculpe pelo post gigantesco, qualquer ajuda é muito apreciada! Desde já, obrigado.

— James Baker
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É quando a tentativa de precisão cria confusão e mal-entendidos.

Naquela época, os modelos de crescimento não estavam incorporando progresso tecnológico e levavam a um equilíbrio de longo prazo caracterizado por magnitudes per capita constantes . Verbalmente, o termo "estado estacionário" parecia apropriado para descrever tal situação.

Em seguida, surgiram modelos de crescimento endógeno e de Romer, o que também levou os modelos mais antigos a começar a incluir, como rotina, fatores de crescimento exógenos (além da população). E "de repente", os termos per capita não eram constantes no equilíbrio de longo prazo, mas cresciam a uma taxa constante . Inicialmente, a literatura descreveu uma situação como "estado estacionário nas taxas de crescimento".

Parece que a profissão pensou algo como "é impreciso usar a palavra" estável "aqui, porque as magnitudes per capita estão crescendo.O que acontece é que todas as magnitudes crescem a uma taxa equilibrada (ou seja, na mesma taxa e, portanto, suas proporções permanecem E desde que crescem, seguem um caminho ... "Eureka !: nasceu o termo" caminho de crescimento equilibrado ".

... Para a frustração dos alunos (pelo menos), que agora precisam lembrar que, por exemplo, o "caminho da sela" é de fato um caminho no diagrama de fases, mas o "caminho de crescimento equilibrado" é apenas um ponto! (porque, para desenhar um diagrama de fases e obter um bom equilíbrio antigo a longo prazo, expressamos magnitudes por trabalhador efetivo, e essas magnitudes têm um estado estacionário tradicional. Mas continuamos a chamá-lo de "caminho de crescimento equilibrado", porque as magnitudes per capita, que é o nosso interesse, em nossa abordagem individualista), continuam a crescer).

Portanto, "caminho de crescimento equilibrado" = "estado estacionário de magnitudes por unidade de trabalho eficiente", e acho que você pode descobrir o restante do diagrama de fases.

— Alecos Papadopoulos
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Após a conversa com @denesp usuário com os comentários da minha resposta anterior, eu tenho que esclarecer o seguinte: o dispositivo gráfico normal usamos relacionada com a Solow modelo básico de crescimento (ver, por exemplo aqui , figura 2) não é um diagrama de fases, já que razoavelmente chamamos de "diagramas de fase" aqueles que contêm loci de mudança zero, identificamos os pontos de cruzamento deles como pontos fixos de um sistema dinâmico e examinamos suas propriedades de estabilidade. E não é isso que fazemos para o modelo de Solow. Portanto, foi um uso descuidado da terminologia da minha parte.

$(y,k)$ $y=f(k)$

\dot{k} = s y - (n + δ + g) k

$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$

\dot{y} = f_{k}^{'} (k) \cdot \dot{k}

$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$

\dot{k} \geq 0 ⟹ y \geq \frac{n + δ + g}{s} k

$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$

\dot{y} \geq 0 ⟹ \dot{k} \geq 0

$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$

$(y,k)$

$y$ $k$ $y$ $k$

— Alecos Papadopoulos
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