Risco moral com agente neutro ao risco

Temos um modelo de agente principal com ações ocultas nas quais o principal é avesso ao risco e o agente é neutro ao risco; Suponha também existem dois níveis de produção, e (com ) e duas ações . Defina as probabilidades de nas ações respectivamente. Além disso, a desutilidade do agente da ação é . Os salários associados a são respectivamente. $x$ $x'$ $x'>x$ $a,a'$ $p(a),p(a')$ $x'$ $a,a'$ $a'$ $-1$ $x,x'$ $w,w'$

Meu problema é que não tenho certeza de como mostrar que o contrato ideal exige , ou seja, que o agente, por ser neutro ao risco, assume toda a variabilidade associada ao projeto. $x'-w' =x-w$

Eu formalizo o problema (suponha que o diretor queira induzir , caso contrário, minha pergunta é trivial) $a'$

$\max\limits_{\{w,w'\}} u(x'-w')p(a') + u(x-w)(1-p(a'))$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq 0$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

Em particular, quando tento resolver o problema maximizando o principal retorno esperado, sujeito às restrições "padrão" de racionalidade individual (com $\lambda$ multiplicador ) e de compatibilidade de incentivo (com $\mu$ multiplicador) (presumo que o principal esteja interessado em mais ação onerosa $a'$ ) Termino com duas equações que não são consistentes com o resultado mencionado acima. Em particular:

$u'(x-w) = \lambda + \mu [1- \frac{(1-p(a))}{(1-p(a'))}]$

$u'(x'-w') = \lambda + \mu [1- \frac{p(a)}{p(a')}]$

É evidente que mantém iff que não é o caso neste problema (aqui temos que ). Outra possibilidade seria supor que a restrição de compatibilidade de incentivo seja frouxa (portanto ); no entanto, não consigo entender por que isso deve acontecer, quando o diretor deseja induzir a ação mais cara (ajuda aqui) $x-w = x'-w'$ $p(a) =p(a')$ $p(a') >p(a)$ $\mu = 0$ $a'$

Li online que outra abordagem seria supor que o principal "vende" o projeto ao agente e o agente, depois de ter escolhido qual nível de esforço maximiza sua utilidade esperada, paga uma quantia fixa ao principal (chame-o ) $\beta_{a}, \beta_{a'}$

Então teríamos algo como:

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 -\beta_{a'} \geq 0$ se o agente optar por realizar um alto esforço e caso contrário. $w'p(a) + w(1-p(a)) -\beta_a \geq 0$

Mas então como ir de lá? Como garantir que o agente escolha a ação ? Como são determinados os valores fixos? Por que eles são ótimos? $a'$

decision-theory principal-agent

— night_owl89
fonte

Uma dica: dada a sua configuração, não é necessariamente a ação eficiente e, portanto, o diretor não quer necessariamente induzi-la. Você quer que as pessoas pensem que é?

a^{'}

$a^\prime$

— Shane

@ Shane Isto é afirmado na pergunta: "suponha que o diretor queira induzir "

a^{'}

$a'$

— Giskard

@denesp Isso é verdade, mas ainda é importante saber se é realmente eficiente, porque, dado o agente neutro ao risco, vender o projeto ao agente será ideal, não importa o que aconteça, mas apenas induzirá se for eficiente. Se não é eficiente, mas o principal quer induzi-lo independentemente, então toda a noção de contratos ótimos fica embaçada - estaríamos encontrando o contrato ideal a partir de um conjunto de contratos que induz uma escolha abaixo do ideal.

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

— Shane

O principal pode apenas efetuar um pagamento para induzir um valor de 'com base em qualquer utilidade que o principal receba dessa ação.

— DJ Sims

Os "salários" podem ser negativos ou zero?

— Alecos Papadopoulos

Respostas:

Esta resposta mostra três coisas:

Não precisamos da abordagem lagrangiana para resolver seu problema de maximização.
Não precisamos assumir que também. $x'-x=\frac{1}{p(a')-p(a)}$
A condição não é necessariamente satisfeita para o contrato ideal. $x'-w'=x-w$

Corrija de fato o pagamento . O problema pode ser escrito dadas as restrições É claro que o principal tem interesse em definir o menor valor possível para dado esse conjunto de restrições, uma vez que a função objetivo está diminuindo em . Portanto, ele definirá $w$

max_{w^{'}} u (x^{'} - w^{'}) p (a^{'})

$\begin{equation*} \max_{w'}{u(x'-w')p(a')} \end{equation*}$

\begin{aligned} w^{'} p (a^{'}) \geq 1 - w [1 - p (a^{'})] \\ w^{'} [p (a^{'}) - p (a)] \geq 1 + w [p (a^{'}) - p (a)] \end{aligned}

$\begin{align*} & w'p(a') \geq 1 - w[1-p(a')] \\ & w'[p(a')-p(a)] \geq 1+w[p(a')-p(a)] \end{align*}$

w^{'}

$w'$

w^{'}

$w'$

w^{'} = max {\frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}, \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}}

$\begin{equation} w' = \max\{\frac{1-w[1-p(a')]}{p(a')},\frac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)}\} \end{equation}$

Como o @Alecos_Papadopoulos fez, faz sentido supor que o agente esteja protegido por uma responsabilidade limitada, ou seja, que seus pagamentos não sejam negativos. Caso contrário, o problema não tem necessariamente uma solução: o principal sempre poderia se beneficiar da diminuição de e do aumento de , a fim de manter satisfeita a restrição de racionalidade individual. Mas o contrato obviamente não é uma solução satisfatória. Portanto, restrito a atenção ao caso em que e . $w$ $w'$ $(w=-\infty,w'=+\infty)$ $w \geq 0$ $w' \geq 0$

A condição implica e, portanto, $w \geq 0$

\frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)} \geq \frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}

$\begin{equation*} \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \geq \dfrac{1-w[1-p(a')]}{p(a')} \end{equation*}$

w^{'} = \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}

$\begin{equation*} w' = \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \end{equation*}$

Ao conectar esta equação à função objetivo, o problema do principal se torna

max_{w \geq 0} u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} - w) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} \max_{w \geq 0}{u(x'-\frac{1}{p(a')-p(a)}-w)p(a')+u(x-w)(1-p(a'))} \end{equation*}$ Esta função objetivo está diminuindo em . Portanto, ele simplesmente define e . Como conclusão, a igualdade não tem motivos para ser satisfeita, a menos que se assuma que , isto é, que Esta última equação significa que o excedente social resultante de é igual ao excedente resultante

w

$w$

w = 0

$w=0$

w^{'} = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$w'=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

x^{'} - w^{'} = x - w

$x'-w'=x-w$

x^{'} - x = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$x'-x=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

p (a^{'}) x^{'} + (1 - p (a^{'})) x - 1 = p (a) x^{'} + (1 - p (a)) x

$\begin{equation*} p(a') x' + (1-p(a'))x -1= p(a)x' + (1-p(a))x \end{equation*}$

a^{'}

$a'$

a

$a$ : é um caso muito particular em que o custo do esforço do agente é exatamente compensado pelo aumento da produção esperada do principal. Em todos os outros casos, temos .

x^{'} - w^{'} \neq x - w

$x'-w' \ne x-w$

Penso que a razão pela qual o agente não assume todo o risco é porque suas ações não são observáveis e, portanto, não são contratáveis. Essa propriedade seria verdadeira em uma economia de compartilhamento de risco com alocações sem restrições. Mas a alocação é distorcida pela necessidade de incentivar o agente a exercer um alto esforço.

— Oliv
fonte

(+1) Essa é uma boa abordagem, eu só gosto de ser formal com problemas simples. Uma questão final com a configuração do OP: como é arbitrário, nada garante que .

x^{'}

$x'$

x^{'} \geq 1 / (p^{'} - p)

$x' \geq 1/(p'-p)$

— Alecos Papadopoulos

Não creio que "o principal possa sempre se beneficiar da diminuição de e do aumento de para manter satisfeitas as restrições de racionalidade individuais". é verdade. Quero dizer, há casos em que você não pode se beneficiar e manter a restrição de participação satisfeita.

w

$w$

w^{'}

$w'$

— Giskard

@denesp Eu acho que é verdade. Tome negativo e pequeno o suficiente, e para satisfazer ambas as restrições. A função objetivo do principal é e essa função está diminuindo estritamente em , quando é pequeno o suficiente. Portanto, o principal sempre pode fazer melhor abaixando definindo : nenhuma alma finita é ideal.

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w' = \frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'})} + w \frac{1 - p (a^{'})}{p (a^{'})}) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} u(x'-\frac{1}{p(a')}+w \frac{1-p(a')}{p(a')})p(a') + u(x-w)(1-p(a')) \end{equation*}$

w

$w$

w

$w$

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w'=\frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

— precisa

@Alecos Papadopoulos obrigado. Por que você gostaria de garantir que ?

x^{'} \geq \frac{1}{p^{'} - p}

$x' \geq \frac{1}{p'-p}$

— precisa

@Oliv Se , a receita líquida do principal é negativa se ocorrer, enquanto é positiva se ocorrer (com ). De fato, mesmo que , estamos em uma situação em que o principal deseja induzir a ação , mesmo que a utilidade condicional seja menor se ocorrer. Isso exigiria um tratamento mais abrangente, para determinar o que é realmente ótimo aqui. Certamente, podemos aceitar o problema como está, com todas as suas suposições tomadas como dados ad hoc, mas prefiro problemas que contrariem a intuição apenas se, no final, eles puderem explicar de maneira esclarecedora o porquê.

x^{'} < 1 / (p^{'} - p)

$x' < 1/(p'-p)$

x^{'}

$x'$

x

$x$

w = 0

$w=0$

0 < x^{'} - 1 / (p^{'} - p) < x

$0< x' - 1/(p'-p) < x$

a^{'}

$a'$

x^{'}

$x'$

— Alecos Papadopoulos

Uma coisa que me incomoda aqui é o seguinte: a restrição de compatibilidade de incentivo é

I C : w^{'} p (a^{'}) + w (1 - p (a^{'})) - 1 \geq w^{'} p (a) + w (1 - p (a))

$IC: w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

\begin{matrix} (1) & ⟹ w^{'} - w \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$\implies w'-w \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{1}$

... desde que pela suposição . É-nos dito que deveríamos achar que, no , $p(a')-p(a) >0$

\begin{matrix} (2) & x^{'} - w^{'} = x - w ⟹ x^{'} - x = w^{'} - w \end{matrix}

$x'-w' = x-w \implies x'-x = w'-w \tag{2}$

Combinando e , se esse é realmente o melhor sob as restrições dadas, também devemos ter $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & x^{'} - x \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$x'-x \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{3}$

Mas essa é uma restrição adicional necessária em magnitudes a priori, que deve ser mantida para que a solução ideal postulada seja admissível. Mesmo que de fato essa restrição seja assumida, em qualquer caso, ela reduz visivelmente a generalidade do problema (que pretende mostrar algo geral, ou seja, como a neutralidade de risco do agente afeta a solução).

No entanto, vamos trabalhar isso um pouco mais formalmente. Assumirei que pode ser zero, mas não negativo. Este é um problema de maximização na forma normal, com restrições de desigualdade, variáveis de decisão não negativas e multiplicadores não negativos. O Lagrangeano completo do problema, portanto, é (compactarei a notação de uma maneira óbvia), $w, w'$

Λ = u (x^{'} - w^{'}) p^{'} + u (x - w) (1 - p^{'}) + λ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1] + μ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1 - w^{'} p - w (1 - p)] + ξ w + ξ^{'} w^{'}

$\Lambda = u(x'-w')p' + u(x-w)(1-p') + \lambda\cdot [w'p' + w(1-p') - 1 ]\\ + \mu \cdot [ w'p' + w(1-p') - 1 - w'p - w(1-p)] + \xi w + \xi' w'$

As condições essenciais de primeira ordem são

\frac{\partial Λ}{\partial w} \leq 0, \frac{\partial Λ}{\partial w} \cdot w = 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \leq 0, \;\;\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \cdot w = 0$

e analogamente para . Estes resultam em $w'$

\frac{\partial Λ}{\partial w} = - u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) + λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} = -u'(x-w)(1-p') +\lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi \leq 0$

⟹ u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) \geq λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ

$\implies u'(x-w)(1-p') \geq \lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi$

\begin{matrix} (4) & ⟹ u^{'} (x - w) \geq λ - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x-w) \geq \lambda - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag{4}$

\frac{\partial Λ}{\partial w^{'}} = - u^{'} (x^{'} - w^{'}) p^{'} + λ p^{'} + μ (p^{'} - p) + ξ^{'} \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w'} = -u'(x'-w')p' +\lambda p' + \mu (p'-p) + \xi' \leq 0$

\begin{matrix} (5) & ⟹ u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq λ + μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x'-w') \geq \lambda + \mu\frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5}$

Primeira nota que nem os dois salários podem ser zero, porque as restrições seriam violadas. Diante disso, considere a possibilidade de que o seja vinculativo (então ). Se for vinculativo, e com ambos os salários zero, a restrição do será necessariamente violada. Então concluímos que $IR$ $\lambda >0$ $IC$

λ_{*} = 0

$\lambda_* = 0$

e as condições de primeira ordem agora se tornam

\begin{matrix} (4a) & u^{'} (x - w) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x-w) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag {4a}$

\begin{matrix} (5a) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') \geq \mu \frac{p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5a}$

Agora observe que se (ou seja, ), então deve ser igual e com o último termo à direita igual a zero. Mas isso exigiria utilidade marginal negativa, o que é inadmissível. Também sabemos que nem os dois salários podem ser zero. Então concluímos que devemos ter $\xi =0$ $w >0$ $(4a)$

ξ_{*} > 0, w_{*} = 0, ξ_{*}^{'} = 0, w_{*}^{'} > 0

$\xi_* > 0 , w_*=0,\;\;\; \xi'_* = 0,\; w'_* >0$

e as condições agora se tornam

\begin{matrix} (4b) & u^{'} (x) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4b}$

\begin{matrix} (5b) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) = μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') = \mu \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5b}$

Eq. implica que , sob uma especificação de função de utilidade usual, que não fornece utilidade marginal zero, exceto no infinito. Por sua vez, isso significa que a restrição de deve ser considerada uma igualdade. Dado que isso dá $(5b)$ $\mu_*>0$ $IC$ $w_*=0$

\begin{matrix} (6) & I C : w^{'} p^{'} - 1 - w^{'} p = 0 ⟹ = w_{*}^{'} = \frac{1}{p^{'} - p} \end{matrix}

$IC: w'p' - 1 - w'p =0 \implies = w'_* = \frac 1{p'-p} \tag{6}$

Isso deve tocar uma campainha, porque o lado direito de é o mesmo que o lado direito de e . $(6)$ $(1)$ $(3)$

Ou seja, se estamos assumindo a priori que , então a solução chegamos a valida a reivindicação $x'-x = \frac 1{p'-p}$ $x'-w'_* = x-w_*$

Sob essa suposição adicional, também obtemos

\begin{matrix} (4c) & u^{'} (x) \geq - μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu_* \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4c}$

\begin{matrix} (5c) & u^{'} (x) = μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) = \mu_* \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5c}$

Combinando, obtemos

μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}}

$\mu \frac{p'-p}{1-p'} \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'}$

\begin{matrix} (7) & ⟹ μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)} \end{matrix}

$\implies \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)} \tag{7}$

Isso é admissível . Portanto, sob , obtemos a solução $x'-x = \frac 1{p'-p}$

{w_{*}^{'} = x^{'} - x = 1 / (p^{'} - p), w_{*} = 0, λ_{*} = 0, μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)}, ξ_{*} > 0, ξ_{*}^{'} = 0}

$\left \{w'_* = x'-x = 1/(p'-p), w_* =0, \lambda_*=0, \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)}, \xi_* >0, \xi'_* =0\right\}$

— Alecos Papadopoulos
fonte