Argumentando a singularidade do equilíbrio de Bayes-Nash em um leilão

Em uma configuração com valores interdependentes leilão, vamos denotar o tipo de jogador e mensagem desse jogador (a oferta, essencialmente). Eu calculei a melhor função de resposta como: Obviamente, então, dizer a verdade por todas as partes ( para todos ) é um BNE simétrico, independentemente de . Eu também quero argumentar que é o BNE único. Se , parece que haveria BNE assimétrico se houver apenas dois jogadores nos quais a declaração positiva de um jogador ( ) seria igual à declaração negativa do outro jogador ( $\theta_i$ $i$ $m_i$

m_{i}^{*} = θ_{i} + γ \sum_{j \neq i} (θ_{j} - m_{j})

$m_i^* = \theta_i + \gamma \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j)$

m_{k} = θ_{k}

$m_k = \theta_k$

k

$k$

γ

$\gamma$

γ = 1

$\gamma = 1$

m_{i} - θ_{i}

$m_i - \theta_i$

θ_{j} - m_{j}

$\theta_j - m_j$ ). Se , parece que o BNE de dizer a verdade é único, mas como eu provaria isso?

γ < 1

$\gamma<1$

Além disso, até agora não usei uma suposição anterior comum. Preciso aqui discutir a existência do BNE que diz a verdade ou argumentar que é uma exclusividade? caso, podemos supor que é desenhado iid uniformemente de . $\theta_i$ $[0,1]$

— Shane
fonte

Eu gostaria de usar esse modelo para demonstrar uma técnica para alguém. Você poderia me dar uma referência ou me informar onde posso encontrar o modelo a partir do qual você chegou a essa função de melhor resposta?

— Giskard

Veja a Implementação Robusta em Mecanismos Diretos , 2009, de Bergemann e Morris. Devo mencionar que seu argumento abaixo está completo apenas se os espaços de ação não forem ilimitados. Se eles são limitados, você está tecnicamente apenas provando que não existe um BNE interior que não diz a verdade. Nesse cenário, a única maneira de saber como obter exclusividade é através de uma propriedade de contração, como você propôs originalmente. O BR acima é uma contração se , com o número de jogadores.

γ < \frac{1}{n - 1}

$\gamma<\frac{1}{n-1}$

n

$n$

— Shane

Obrigado pelo artigo. Tendo acabado de ler, gostaria de salientar que Bergemann e Morris também analisam os casos em que e onde separadamente. (Meio da página 1182.) E, de fato, mais tarde também invocam contrações para o primeiro caso.

γ < \frac{1}{n - 1}

$\gamma < \frac{1}{n-1}$

γ > \frac{1}{n - 1}

$\gamma > \frac{1}{n-1}$

— Giskard

Deixe denotar o melhor mapeamento de resposta. Isso fornece um mapeamento do vetor de mensagem . (Para qualquer apenas as mensagens de jogadores não são usadas para derivar o melhor mapeamento de resposta.) $BR=(BR_1,BR_2,BR_3,...)$ $m$ $BR_i$ $i$

Seja denotar o equilíbrio simétrico. Como é um equilíbrio, para qualquer você tem , então Suponha que tenhamos um equilíbrio não revelador da verdade . Como este é um equilíbrio então Reorganizando isso A soma de todas as equações produz $m^* = (m_1^*,m_2^*,m_3^*,...)$ $i$ $BR_i(m^*) = m_i^*$

B R (m^{*}) = m^{*} .

$BR(m^*) = m^*.$

m^{'}

$m'$

B R (m^{'}) = m^{'}

$BR(m') = m'$

\forall i \in N : m_{i}^{'} = θ_{i} + γ \sum_{j \neq i} (θ_{j} - m_{j}^{'}) .

$\forall i\in N: m_i' = \theta_i + \gamma \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j').$

\forall i \in N : 0 = θ_{i} - m_{i}^{'} + γ \sum_{j \neq i} (θ_{j} - m_{j}^{'}) .

$\forall i\in N: 0 = \theta_i - m_i' + \gamma \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j').$

\begin{array}{rcl} 0 & = & \sum_{i} (θ_{i} - m_{i}^{'}) + γ \sum_{i} \sum_{j \neq i} (θ_{j} - m_{j}^{'}) \\ 0 & = & \sum_{i} (θ_{i} - m_{i}^{'}) + γ \cdot (n - 1) \cdot \sum_{i} (θ_{i} - m_{i}^{'}) \\ 0 & = & (1 + γ \cdot (n - 1)) \cdot \sum_{i} (θ_{i} - m_{i}^{'}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} 0 & = & \sum_i (\theta_i - m_i') + \gamma \sum_i \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j') \\ 0 & = & \sum_i (\theta_i - m_i') + \gamma \cdot (n-1) \cdot \sum_i (\theta_i - m_i') \\ 0 & = & (1 + \gamma \cdot (n-1)) \cdot \sum_i (\theta_i - m_i') . \end{eqnarray*}$ Há duas maneiras de manter isso. Ou ou .

\sum_{i} (θ_{i} - m_{i}^{'}) = 0

$\sum_i (\theta_i - m_i') = 0$

γ = - \frac{1}{n - 1}

$\gamma = -\frac{1}{n-1}$

Caso 1. Suponha . A partir de no equilíbrio de contar a verdade isso é verdade para todos os . Se equilíbrios não reveladores da verdade também forem possíveis para qualquer número de jogadores, por exemplo, jogadores relatando seu tipo e um jogador relatando seu tipo . E se $\sum_i (\theta_i - m_i') = 0$

\begin{array}{rcl} m_{i}^{'} & = & θ_{i} + γ \sum_{j \neq i} (θ_{j} - m_{j}^{'}) \\ m_{i}^{'} - θ_{i} & = & γ \sum_{j \neq i} (θ_{j} - m_{j}^{'}) \\ (m_{i}^{'} - θ_{i}) - γ \cdot (m_{i}^{'} - θ_{i}) & = & γ \cdot (θ_{i} - m_{i}^{'}) + γ \sum_{j \neq i} (θ_{j} - m_{j}^{'}) \\ (1 - γ) \cdot (m_{i}^{'} - θ_{i}) & = & γ \sum_{j} (θ_{j} - m_{j}^{'}) = 0. \end{array}

$\begin{eqnarray*} m_i' & = & \theta_i + \gamma \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j') \\ m_i' - \theta_i & = & \gamma \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j') \\ (m_i' - \theta_i) - \gamma \cdot (m_i' - \theta_i) & = & \gamma \cdot (\theta_i - m_i') + \gamma \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j') \\ (1 - \gamma) \cdot (m_i' - \theta_i) & = & \gamma \sum_{j} (\theta_j-m_j') = 0. \end{eqnarray*}$

i \in N

$i \in N$

γ = 1

$\gamma = 1$

n - 1

$n-1$

+ 1

$+1$

- n + 1

$-n+1$

γ < 1

$\gamma < 1$ e o equilíbrio não é revelador da verdade, isso não é possível.

Caso 2. Suponha . Seja denotar , para que o sistema de equações se torne Para a representação matricial deste sistema de equações é invertível, portanto, existe apenas uma solução e é claramente uma solução. Isso significa que o único equilíbrio é o equilíbrio que diz a verdade. $\gamma = -\frac{1}{n-1}$
$x_i$ $\theta_i - m_i'$

\forall i \in N : 0 = θ_{i} - m_{i}^{'} + γ \sum_{j \neq i} (θ_{j} - m_{j}^{'})

$\forall i\in N: 0 = \theta_i - m_i' + \gamma \sum_{j \ne i} (\theta_j-m_j')$

\forall i \in N : 0 = x_{i} + γ \sum_{j \neq i} x_{j} .

$\forall i\in N: 0 = x_i + \gamma \sum_{j \ne i} x_j.$

γ = - \frac{1}{n - 1}

$\gamma = -\frac{1}{n-1}$

\forall i : x_{i} = 0

$\forall i: x_i = 0$

— Giskard
fonte

@ Shane Pensando nisso, é como você ressalta que não é uma contração se . Em vez disso, posso oferecer uma prova baseada em álgebra linear.

B R

$BR$

γ > \frac{1}{n - 1}

$\gamma > \frac{1}{n-1}$

— Giskard

Isso é inteligente e impressionantemente simples. Obrigado!

— Shane