Elasticidade do preço quando a relação entre vendas, preço e outros fatores não é linear

Para implantação comercial, a elasticidade do preço é calculada por meio de regressão linear que assume que existe uma relação linear entre preço e vendas. Eu tenho a) preço eb) classificações de mídia social para o meu produto. Eu sei que as classificações de mídia social influenciam a decisão do consumidor de comprar ou não comprar algo. De acordo com a suposição de regressão linear, se a classificação da mídia social for baixa, precisamos reduzir o preço para melhorar as vendas. No entanto, além de um ponto, os cortes de preços não ajudarão a aumentar as vendas. Isso é uma violação da linearidade.

Então, minha pergunta é: e se

1) O relacionamento não é linear, mesmo após a transformação do log dos dados?

2) Como posso saber sobre o ponto em que preciso parar de reduzir ainda mais o preço.

Para dar uma base, eu já li esta Econometria: A elasticidade é significativa em minha ou em alguma regressão? No entanto, não pareceu responder à minha segunda pergunta, que é que minhas vendas continuarão a aumentar se eu continuar caindo de preço, embora eu tenha uma classificação baixa nas mídias sociais?

Meu histórico: sou estatístico e meu conhecimento econômico é tudo o que leio na faculdade. Estou trabalhando com um problema de otimização de receita

— Entusiasta
fonte

Existe uma confusão entre uma "relação linear entre duas variáveis" e uma "equação econométrica linear nos parâmetros desconhecidos a serem estimados".

O primeiro tem a ver com o que acontece na realidade, e implica que a relação marginal é constante. O segundo pode ser obtido mesmo que a relação real não seja linear, mas não linear de maneiras específicas que permitam obtê-la através de uma transformação adequada dos dados.

Para ilustrar isso, no caso do OP, a relação real (parte determinística da) pode ser

\begin{matrix} (1) & X_{d} = A R^{a} P^{- b} \end{matrix}

$X_d = AR^aP^{-b} \tag{1}$

Demanda para o produto é uma função não-linear positiva de classificações sociais e uma função não-linear negativa de seu próprio preço . O efeito marginal do preço para essa relação não é constante $X_d$ $R$ $P$

\frac{\partial X_{d}}{\partial P} = - \frac{b}{P} X_{d} < 0

$\frac {\partial X_d}{\partial P} = -\frac{b}{P}X_d <0$

Ao assumir , já fizemos uma série de suposições sobre a interação das variáveis envolvidas. Essa especificação nos permite obter "uma equação econométrica linear nos parâmetros desconhecidos a serem estimados", pois, tomando os logs, temos $(1)$

\begin{matrix} (2) & \ln X_{d} = \ln A + a \ln R + (- b) \ln P \end{matrix}

$\ln X_d =\ln A +a\ln R +(-b)\ln P \tag{2}$

Portanto, embora o efeito marginal do preço sobre a demanda não seja linear nem constante, a elasticidade da demanda em relação ao preço é constante e igual a (o sinal que indica a direção da influência). $-b$

Mas uma maneira adequada de representar a relação real? $(1)$

Portanto, a maneira correta de proceder aqui é

1) Até onde sabemos, usando evidências e argumentos lógicos, determinamos as inter-relações qualitativas entre as variáveis envolvidas: o efeito é positivo / negativo? A relação de seus níveis é linear / não linear? É monotônico ou, digamos, "U invertido", etc.

2) Construímos uma forma matemática que reflete qualitativamente as conclusões / suposições apresentadas na etapa 1. Por exemplo, se acreditarmos que existe uma relação "invertida-U" entre os níveis de e , isso pode ser modelado por com $Y$ $Z$ $Y = a + bZ + cZ^2$ $c<0$

3) Se a expressão matemática que obtemos na etapa 2 não for linear nos parâmetros desconhecidos de interesse, verificamos se ela pode ser transformada em uma que é. Obviamente, existem métodos de estimação para relacionamentos não lineares, sendo os mínimos quadrados não lineares o exemplo fácil. Mas a experiência nos ensinou que nossas técnicas de estimativa são melhores quando estimam equações lineares em parâmetros desconhecidos; é por isso que sempre tentamos chegar a essa especificação, mesmo que possamos aceitar no processo certas etapas aproximadas ao que obtivemos. na etapa 2 (e não apenas nas transformações exatas).

— Alecos Papadopoulos
fonte

Isso é bom em teoria. Mas se dissermos que a curva de demanda é linear, a elasticidade do preço varia de zero ao infinito. Portanto, se o log de preço e as vendas forem lineares, a cada preço convertido de log haverá elasticidade se a reputação da mídia social for constante. Isso parece impraticável. Portanto, se um produto tiver baixa reputação entre os clientes nas mídias sociais, não importa o quanto reduzamos o preço, haverá um ponto além do qual não haverá compradores para esse produto. A regressão log-log será capaz de me dizer onde parar de reduzir ainda mais os preços se a classificação da mídia social for constante?

— entusiasta

@MdAzimulHaque A forma funcional na minha resposta foi apenas um exemplo. O objetivo aqui é mapear as relações, as restrições e os limites que você observa no seu caso específico para a forma matemática apropriada.

— Alecos Papadopoulos