Condição de Primeira Ordem para Maximização de Lucros na Indústria de Jogos de Azar

Estou trabalhando em um modelo de porcentagens ideais de pagamento na indústria de jogos de azar.

Como o preço nominal de um ingresso de US $ 1 é sempre de US $ 1, usamos uma estratégia de preço eficaz em que Q = US $ 1 em prêmios ganhos. Se um jogo paga 50%, o preço efetivo é de US $ 2, pois é isso que precisaria ser gasto para ganhar US $ 1 em prêmios. Muito simples, certo?

Bem, encontrei esta nota de rodapé em algumas pesquisas e não consigo descobrir como eles chegaram à Condição de Primeira Ordem para Maximização de Lucro a partir da primeira equação:

"Deixe representar os custos operacionais em função das unidades de quantidade, onde uma unidade de quantidade é definida como um dólar no valor esperado dos prêmios.$C(Q)$

O lucro líquido da agência é dado por

$$N = PQ - Q - C(Q)$$

onde é o preço cobrado por uma unidade de quantidade.$P$

A condição de primeira ordem para maximização do lucro pode ser escrita

$$-E_{PQ} = P(1 - C')/[P(1 -C')- 1]$$

Se os custos operacionais marginais são % das vendas e a taxa de pagamento é de %, temos e , implicando que a elasticidade-preço da demanda no lucro máximo é .50 P = 2 C ′ = 0,12 - $6$$50$$P = 2$$C' = .12$$-2.3$

Para um aumento na taxa de pagamento para aumentar os lucros, deve exceder em valor absoluto. "$E_{PQ}$$2.3$

- [Citação] Clotfelter, Charles T e Philip J Cook. "Sobre a economia das loterias estaduais". Journal of Economic Perspectives: 105-19.

Na equação FOC, é a elasticidade-preço efetiva da demanda. Isso normalmente seria encontrado tomando a derivada de com relação a na primeira equação. P $-E_{PQ}$$P$$Q$

Como eles terminaram onde chegaram? Tem que haver algo que estou perdendo.

Estou tendo problemas para entender como essa Condição de Primeira Ordem específica foi alcançada - se foi o resultado de algum processo derivativo na equação da Receita Líquida ou se é simplesmente uma condição externa sendo aplicada.

Obrigado!

A expressão em questão está na nota rodapé do artigo referenciado. Lendo o jornal, vemos que a variável de decisão aqui é "a taxa de pagamento", que é o inverso da . Portanto, de maneira equivalente, podemos resolver o problema de maximização em relação a (e não a Q errado ). Além disso, a "elasticidade-preço da demanda" envolve a derivada de Q em relação a P , e não o contrário:P $11$$P$$P$$Q$$Q$$P$

$$E_{PQ} = \frac {dQ/dP}{Q}P$$

e esperamos que seja negativo (preço mais alto significa menor taxa de pagamento, levando a uma menor demanda pela quantidade medida aqui, ou seja, menor "demanda por prêmios").

$$\max_{P}N = \max_{P}\left[P\cdot Q(P) - Q(P) - C(Q(P))\right]$$

A condição de primeira ordem é

$$\frac{\partial N}{\partial P} = Q + P\cdot Q' - Q' - C'\cdot Q' = 0 \tag{1}$$

Multiplique por :$P/Q$

$$Q\frac PQ + P\cdot Q'\frac PQ - Q'\frac PQ - C'\cdot Q'\frac PQ = 0$$

$$\Rightarrow P +P\cdot E_{PQ} - E_{PQ} - C'\cdot E_{PQ}=0$$

$$\Rightarrow -E_{PQ} = \frac {P}{P-1-C'} \tag{2}$$

Isso faz sentido. Conectando os valores apresentados na referência, temos

$$-E_{PQ} = \frac {2}{2-1-.12} = \frac {2}{0.88} \approx 2.27$$

que está muito próximo do valor resultante da equação apresentada pelos autores. Não consegui, por quaisquer manipulações algébricas que tentei, replicar sua fórmula, mas a eq está correta em qualquer caso. Se houver uma reconciliação, eu atualizarei.$(2)$