Utilitário Quasilinear: Otimização de Pareto Implica Maximização Total de Utilidades?

Eu li que, se tivermos a utilidade quase-linear para todos os consumidores, qualquer alocação ótima de pareto maximiza a soma dos níveis de utilidade de todos os consumidores. Isso é:

$ \ textbf {O que sabemos:} $ $$ 1) \ quad u ^ i (m ^ i, x ^ i) = m ^ i + \ phi ^ i (x ^ i) \; \ quad \ forall i = 1, ..., I $$ $$ 2) \ quad \ phi ^ i (\;) \; \ text {é contínuo e estritamente crescente (mas não necessariamente diferenciável)} $$ $$ 3) \ quad \ text {Uma atribuição,} \, x \, \ text {satisfaz} \; \ neg \, \ existe \, \ hat {x} \; s.t. \; \ hat {m} ^ i + \ phi ^ i (\ hat {x} ^ i) \ geq m ^ i + \ phi (x ^ i) \; \ para todos i $$ \ text {e} \ quad \ hat {m} ^ i + \ phi ^ i (\ hat {x} ^ i) & gt; m ^ i + \ phi (x ^ i) \, \ text {para alguns} \, i $$

$ \ textbf {O que mostrar:} $ $$ x \; \ texto {resolve} \; max \ sum_ {i = 1} ^ Im ^ i + \ phi ^ i (x ^ i) $$

Alguém pode fornecer uma prova disso? Qualquer ajuda seria muito apreciada!

$ \ textbf {Edit:} \, $ Eu não sei se este é o caminho certo, mas pela propriedade crescente de $ \ phi (\,) $, as preferências satisfazem a não saciedade local, o que implica que elas satisfazem a primeiro teorema de bem-estar. Agora, se eu pudesse descobrir se todas as alocações ótimas pareto são equilíbrios competitivos com utilidade quasilinear, eu posso estar ligado a alguma coisa!

Editar: Casos de borda chupar; Ver comentários. Veja também o Capítulo 10 do Capítulo 10 do MWG, D.

Suponha que $ (\ vec x ^ *, \ vec m ^ *) $ resolva

$$ \ max \ sum ^ I_ {i = 1} m_i + \ phi_i (x_i) $$

mas não é Pareto ideal.

$$ \ begin {align} \ implies \ exists \ (x_i ', m_i') \ quad \ text {s.t}} \ quad & amp; u_i (x_i ', m_i') \ geq u_i (x_i ^ *, m_i ^ *) \ quad \ para todos \ i = 1, \ cdots, eu \\ & amp; u_i (x_i ', m_i') & gt; u_i (x_i ^ *, m_i ^ *) \ quad \ text {para alguns} \ i \ end {align} $$

$$ \ implica \ sum ^ I_ {i = 1} m'_i + \ phi_i (x'_i) & gt; \ sum ^ I_ {i = 1} m ^ * _ i + \ phi_i (x ^ * _ i) $$

o que é uma contradição. Se tivermos uma solução para o problema de maximização da utilidade, ela deve ser ótima para Pareto.

(Observe que isso vem de propriedades contínuas e crescentes de $ \ phi (\ cdot) $)

Suponha que $ (\ vec x ^ *, \ vec m ^ *) $ seja uma alocação ótima de Pareto viável, mas não resolve

$$ \ max \ sum ^ I_ {i = 1} m_i + \ phi_i (x_i) $$

Como tratamos $ m_i $ como numerário e $ \ phi_i (\ cdot) $ está estritamente aumentando, sabemos que $ u_i (\ cdot) $ é localmente não saciado. A alocação de Pareto deve ser apenas viável.

$$ \ exists \ (x_i ', m_i') \ quad \ text {s.t}} \ quad \ sum ^ I_ {i = 1} m'i + \ phi_i (x'_i) & gt; \ sum ^ I_ {i = 1} m ^ * _ i + \ phi_i (x ^ * _ i) \\ \ implies \ boxed {\ sum ^ I_ {i = 1} \ phi_i (x'_i) & gt; \ sum ^ I_ {i = 1} \ phi_i (x ^ * _ i)} $$

Se isso for verdade, porque essa alocação alternativa simplesmente dá a um indivíduo mais de $ x $, para todo o resto igual, então a alocação alternativa é inviável. Então nós teríamos uma contradição.

Se isto é verdade, porque na alocação alternativa, alguém é alocado mais $ x $ e apenas uma outra pessoa é alocada menos, então a alocação original não seria ótima para Pareto. Suponha que fosse. Se você tomou a alocação original e trocou $ x $ no caminho da nova alocação, então você precisaria de uma negociação correspondente no número numérico bom, $ m $, para manter quem está perdendo $ x $ pelo menos no mesmo nível de utilidade . Mas comércios em apenas o numeraire bom nunca pode mudar utilidade agregada somada . Da alocação original, se você pode trocar $ m $ por $ x $ e melhorar alguém sem machucar ninguém, você não estava em um ótimo de Pareto e se não pode negociar $ m $ por $ x $ para fazer alguém melhor, você não pode aumentar a utilidade agregada somada, o que significa que a alocação original era uma solução para o problema de maximização.

Essa lógica se aplica, não importa como você reorganize $ x $ entre várias pessoas.

$ \ square $

Eu não acho que isso seja verdade em uma economia de troca pura e padrão à qual a pergunta se refere. Considere o seguinte contraexemplo: Supor

$ I = \ {1,2 \} $ e $ u_1 (x_1, m_1) = \ sqrt {x_1} + m_1 $ e $ u_2 (x_2, m_2) = \ sqrt {x_2} + m_2 $.

e permitir que o conjunto de alocações viáveis ​​seja

$ \ {((x_1, m_1), (x_2, m_2)) \ em \ mathbb {R} ^ 2 _ + \ times \ mathbb {R} ^ 2_ +: x_1 + x_2 = 2, m_1 + m_2 = 2 \} $.

Observe que a alocação $ a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2), (0,0)) $ é Pareto eficiente, mas não maximiza a soma dos utilitários. A razão é que a alocação $ a_2 = ((1,1), (1,1)) $ produz a soma mais alta.

$ u_1 (2,2) + u_2 (0,0) = \ sqrt {2} + 2 & lt; 2 + 2 = u_1 (1,1) + u_2 (1,1) $.

Eu acredito que você está se referindo ao seguinte resultado: Qualquer alocação de PE maximiza $ \ sum_ {i = 1} ^ {I} \ phi_ {i} (x_ {i}) $, mas é difícil saber precisamente desde que você não está específico sobre viabilidade.

Deixe-me ser mais específico. Para cada $ i \ in \ {1, \ ldots, eu \} $, $ (x_ {i}, m_ {i}) \ em \ mathbb {R} _ {+} \ times \ mathbb {R} $. Uma alocação é $ a = (x_ {i}, m_ {i}) _ {i = 1} ^ {I} $. O conjunto de alocações viáveis ​​é $ F = \ {(x_ {i}, m_ {i}) _ {i = 1} ^ {I} | (x_ {i}, m_ {i}) \ in \ mathbb {R } _ {+} \ times \ mathbb {R} \ forall i \ em \ {1, \ ldots, I \}, \ sum_ {i = 1} ^ {I} x_ {i} \ leq c_ {x}, \ sum_ {i = 1} ^ {I} m_ {i} \ leq c_ {m} \} $. Utilitário de $ i \ in \ {1, \ ldots, I \} $ de $ a \ em F $ é $ u_ {i} (a) = m_ {i} + \ phi_ {i} (x_ {i}) $, onde $ \ phi_ {i} $ está estritamente aumentando.

A definição da alocação PE é padrão: $ a \ em F $ é PE se $ \ nexiste um '\ em F $ tal que $ u_ {i} (a') \ geq u_ {i} (a) $ para todos $ i $ e $ u_ {i} (a ') & gt; u_ {i} (a) $ por alguns $ i $.

Agora eu reivindico que se $ a $ for PE então $ a $ é uma solução para $ \ displaystyle \ max_ {a \ in F} \ sum_ {i = 1} ^ {I} \ phi_ {i} (x_ {i} ) $, ou, fazendo a maximização com relação a $ x_ {i} $ s explícito, $ \ displaystyle \ max _ {(x_ {i}) _ {i = 1} ^ {I} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {I}} \ sum_ {i = 1} ^ {I} \ phi_ {i} (x_ {i}) $ st $ \ sum_ {i = 1} ^ {I} x_ {i} \ leq c_ {x} $.

Eu não vou provar a afirmação aqui, mas a idéia-chave é simples e é a seguinte. Suponha que $ a ^ {*} $ seja PE, mas não resolve o problema de maximização. Então podemos encontrar outro $ $ '$ $ tal que $ \ sum_ {i = 1} ^ {I} \ phi_ {i} (x_ {i}') & gt; \ sum_ {i = 1} ^ {I} \ phi_ {i} (x_ {i} ^ {*}) $. É verdade que, em $ a '$, em relação a $ a ^ {*} $, os agentes estão em pior situação, mas podemos usar dinheiro, $ m_ {i} $ s, para torná-los igualmente abaixo de $ a ^ { $}, e ainda ficar com algum dinheiro, uma vez que aumentamos a soma da utilidade proveniente de $ x_ {i} $ s.

Outra maneira de dizer isso é que a soma da utilidade de $ a \ em F $ é $ \ sum_ {i = 1} ^ {I} m_ {i} + \ sum_ {i = 1} ^ {I} \ phi_ { i} (x_ {i}) $. Agora, qualquer alocação não-desperdício $ a \ em F $ terá o primeiro termo idêntico.

Ainda outra maneira de pensar sobre isso é que $ x_ {i} $ s determinam o tamanho do bolo e do dinheiro, $ m_ {i} $ s, determinam a redistribuição. Por quase-linearidade, diminuir $ m_ {i} $ por uma unidade e aumentar $ m_ {j} $ por uma unidade deixa as folhas $ m_ {i} + m_ {j} $ inalteradas. Isso não é verdade para $ x_ {i} $ e $ x_ {j} $.

Isso também implica que qualquer $ a \ em F $ que resolva o problema de maximização é PE.