Condição de Concavidade Estrita Diagonal de Rosen

Considere um jogo com jogadores, com o espaço estratégico , onde é delimitado e a função payoff do jogador . A condição de Rosen ( JB Rosen. Existência e singularidade de pontos de equilíbrio para jogos côncavos em pessoa. Econometrica, 33 (3): 520-534, 1965 ) para a singularidade do Equilíbrio de Nash em um jogo de n jogadores afirma que o equilíbrio será único quando $n$ $S \subset \mathbb{R}$ $S$ $i$ $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

função de pagamento é côncavo na própria estratégia $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
Existe o vetor ( forma que funcione é diagonalmente estritamente côncavo $\textbf{z}$ $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

$N$ indica o conjunto de jogadores.

Para definir o conceito de concavidade estrita diagonal, primeiro introduza 'pseudogradiente' da função , definida com: Então, a função é considerada diagonalmente estritamente dominante em para fixo se, para cada o seguinte vale: $\sigma$

\begin{aligned} g (s, z) = (\begin{matrix} z_{1} \frac{\partial π_{1} (s)}{\partial s_{1}} \\ z_{2} \frac{\partial π_{2} (s)}{\partial s_{2}} \\ . . . \\ z_{n} \frac{\partial π_{n} (s)}{\partial s_{n}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$

σ

$\sigma$

s \in S

$\mathbf{s} \in S$

z \geq 0

$\mathbf{z} \geq 0$

s^{0}, s^{1} \in S

$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$

\begin{aligned} (s^{1} - s^{0})^{'} g (s^{0}, z) + (s^{0} - s^{1})^{'} g (s^{1}, z) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$

É mostrado, no artigo que cito no começo, que uma condição suficiente para $\sigma$ ser diagonalmente côncava é que matriz $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ é um defeito negativo para $\mathbf{s} \in S$ , onde $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ é jacobiano do pseudogradiente $g$ em relação a $\mathbf{s}$ . Eu uso 'para denotar transposição de uma matriz. Qual é a intuição por trás da condição de concavidade estrita na diagonal?

game-theory nash-equilibrium

— Nidjsi
fonte

Então você deseja encontrar um máximo de . Se for diagonalmente estritamente côncavo, você poderá fazê-lo iniciando em qualquer ponto e seguindo o gradiente até encontrar o máximo e não importa por onde começar, você sempre terminará no mesmo ponto (Iniciar nos pontos pretos mais baixos e siga a direção do gradiente (a direção da subida mais íngreme).). $\sigma(s,z)$ $\sigma$ $g(s,z)$

No entanto, se não for estritamente côncavo na diagonal, você poderá terminar em máximos diferentes começando em um ponto arbitrário e seguindo o gradiente (siga a direção da subida mais íngreme a partir dos dois pontos pretos mais baixos; você terminará em dois pontos diferentes). $\sigma$

— muxamilian
fonte

Obrigado pela sua resposta! O que você escreve é essencialmente um dos resultados no artigo original de Rosen. Quando digo intuição, quero dizer que propriedade da interação estratégica no jogo é capturada pela estrita condição de concavidade? Por exemplo, essa condição diz algo sobre como as ações de outros jogadores afetam a recompensa do jogador i ou como a ação do jogador i afeta a recompensa de outros jogadores no jogo. Desculpe se eu não estava claro o suficiente na pergunta.

— Nidjsi 17/1018