Função de produção estranha Leontief

Estou resolvendo alguns exercícios relacionados à micro e deparei-me com essa estranha função de produção Leontief:

$$Q =\left(\min\{K, L\} \right)^b$$

Não tenho certeza de como resolvê-lo. Preciso encontrar a demanda dos insumos, a função de custo, etc ... Devo resolvê-lo como $K^b=L^B=Q$ e, em seguida, prosseguir normalmente com o Leontief padrão?

Este não é um caso estranho, mas uma função de produção de Leontief que não é homogênea do grau um, mas homogênea do grau $b$ . Você pode ver isso se usar a conexão entre uma função de produção CES e a Leontief.

Considere

$$Q_b=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{b}{\rho}},\;\; b>0$$

$$\Rightarrow Q_b = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{b}{\rho}}}$$

Tome o limite quando . Uma vez que estamos interessados no limite quando podemos ignorar o intervalo para o qual , e deleite como estritamente positivo.$\rho \rightarrow \infty$$\rho\rightarrow \infty$$\rho \leq0$$\rho$

Sem perda de generalidade, assuma . Também temos . Em seguida, verificamos que a seguinte desigualdade é válida:$K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$$K, L >0$

$$(1-a)^{b/\rho}(1/L^{b})\leq Q_b^{-1} \leq (1/L^{b})$$

$$\rightarrow (1-a)^{b/\rho}(1/L^{b})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{b}{\rho}} \leq (1/L^{b}) \tag{1}$$

aumentando para o poder para obter$\rho/b$

$$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$$ que de fato vale, obviamente, dadas as suposições. Volte para a primeira linha de e$(1)$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{b/\rho}(1/L^{b}) =(1/L^{b})$$

que imprime o termo do meio em a , então$(1)$$(1/L^{b})$

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_b = \frac {1}{1/L^b} = L^b = \big[\min\{K,L\}\big]^{b} \tag{3}$$

Para mais, veja esta resposta .

Recebemos a função de produção . O problema de minimização de custos do produtor é definido como encontrar a combinação trabalho-capital que minimiza o custo de produção de pelo menos unidades de produção, uma vez que o preço do trabalho é e o preço do capital é .$Q = \left(\min(K, L)\right)^\beta$$y$$w$$r$

$$\begin{eqnarray*} \min_{L, K} && wL + rK \\ \text{s.t.} && \left(\min(K, L)\right)^\beta \geq y \\ && K \geq 0, \ L \geq 0 \end{eqnarray*}$$

A solução para esse problema (também conhecida como funções de demanda de entrada condicional) satisfaz: e a função de custo associada (ideal) é, portanto,

$$\begin{eqnarray*} L = K = y^{1/\beta} \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} C(w,r,y) = (w+r)y^{1/\beta} \end{eqnarray*}$$

Sem problemas.

$$Q =\left(\min\{K, L\} \right)^b$$

Significa apenas que primeiro você compara e e sua quantidade será igual à menor à potência .$K$$L$$Q$$b$

Exemplo: , e .$b=2$$K=3$$L=7 \implies Q = 3^2 = 9$

Defina , onde .$Q=q^b$$q=min\{K,L\}$

Para , é uma transformação monotônica de . Como tal, a solução para é equivalente à solução para . Basta resolver o seu problema para , e então refazê-la em termos de .$b>0$$Q$$q$$q$$Q$$q$$Q$