Cálculo do tempo para o caminho de crescimento equilibrado

$\textbf{Model:}$

\underset{{c_{t}, k_{t}}}{m a x} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} \frac{c_{t}^{1 - γ}}{1 - γ}

$\underset{\{c_t,k_t\}}{max}\;\sum_{t=0}^\infty\beta^t\frac{c_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}$

No momento

é o consumo e

é o capital usado na produção.

s . t . c_{t} = R k_{t - 1} - k_{t}

$s.t.\;c_t=Rk_{t-1}-k_t$

c_{t}, k_{t} \geq 0

$c_t,k_t\geq0$

t

$t$

c_{t}

$c_t$

k_{t - 1}

$k_{t-1}$

0 < β < 1, γ > 0, γ \neq 1

$0<\beta<1,\;\gamma>0,\;\gamma\neq1$

Calcule um caminho de crescimento equilibrado no qual o consumo e o capital cresçam a taxas constantes. $\textbf{(a)}$

Resolvendo isso usando a equação de Euler, obtemos Sabemos que o capital deve crescer na mesma taxa que o consumo em um caminho de crescimento equilibrado, então

\frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = (β R)^{\frac{1}{γ}}

$\frac{c_{t+1}}{c_t}=\big(\beta R\big)^{\frac{1}{\gamma}}$

Isso significa que:

\frac{k_{t + 1}}{k_{t}} = (β R)^{\frac{1}{γ}}

$\frac{k_{t+1}}{k_t}=\big(\beta R\big)^{\frac{1}{\gamma}}$

Que restrições são necessárias para que o capital e o consumo cresçam a uma taxa positiva no caminho de crescimento equilibrado?

c_{t} = (\frac{R}{(β R)^{\frac{1}{γ}}} - 1) k_{t}

$c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg)k_t$

(b)

$\textbf{(b)}$

Para esta pergunta, parece que tudo o que precisamos é $R>1$

Agora, minha pergunta é a seguinte: Quanto tempo levará para que o consumo e o capital atinjam o caminho de crescimento equilibrado? Em geral, como calcular o tempo para um caminho de crescimento equilibrado? Ou é mais baseado na intuição econômica?

De acordo com outro aluno, o professor disse que isso nunca chegará a um caminho de crescimento equilibrado. No entanto, o professor nunca afirmou o porquê. Alguém pode me dar um raciocínio sobre por que isso nunca alcançaria um caminho de crescimento equilibrado? $\textbf{Edit:}$

macroeconomics balanced-growth

— DornerA
fonte

@KitsuneCavalry Precisamos inverter a taxa de crescimento porque nós estamos indo para trás no tempo, em vez de para a frente no tempo

— DornerA

Eu perdi os sinais de menos e mais. Eu entendo agora. Excluirei meu comentário (por pura "" "humilhação" "" "nas mãos da aritmética)

— Cavalaria Kitsune

k_{0}

$k_0$

R < 1

$R<1$

@DornerA De fato, a pergunta parece mal definida. Por onde começamos e que regra comportamental seguimos? Eu estou supondo que este é o modelo de Solow, mas não está declarado, nem existem propriedades da função de produção. Se começarmos no caminho de crescimento equilibrado e permanecermos nele, não há problema. Se começarmos por aí, mas comermos tudo no primeiro dia, é claro que nunca mais o alcançaremos. Portanto, são necessárias mais informações.

— Giskard

@denesp a única outra informação que temos é sobre os valores dos parâmetros. Vou incluí-lo na pergunta, mas não parece que ele fornecerá as informações necessárias. Eu realmente gostaria de poder dar mais, mas estou apenas tentando descobrir a questão / intuição geral de como descobrir o tempo para um caminho de crescimento equilibrado / estado estacionário. Novamente, como afirmei na caixinha de recompensas, não preciso de uma resposta exata para essa pergunta. Eu só quero saber se existe um livro de receitas ou uma abordagem intuitiva para resolver por tempo para caminho de crescimento equilibrado ou estado estacionário.

— DornerA

c_{t} = (\frac{R}{(β R)^{\frac{1}{γ}}} - 1) k_{t} > 0 0,

$c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg)k_t > 0,$

k_{t} > 0

$k_t > 0$

\frac{R}{(β R)^{\frac{1}{γ}}} - 1 > 0

$\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1 > 0.$

β \cdot R^{1 - γ} < 1

$\beta \cdot R^{1 - \gamma} < 1.$

$c_0$ $k_{-1}$ $t = 1$

\forall t : c_{t} = (\frac{R}{(β R)^{\frac{1}{γ}}} - 1) k_{t}

$\forall t: \ c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg)k_t$

k_{0}

$k_0$

\forall t : k_{t} = k_{0 0} \cdot (β R)^{\frac{t}{γ}} .

$\forall t: \ k_t = k_0 \cdot (\beta R)^{\frac{t}{\gamma}}.$

\forall t : c_{t} = (\frac{R}{(β R)^{\frac{1}{γ}}} - 1) \cdot k_{0 0} \cdot (β R)^{\frac{t}{γ}} .

$\forall t: \ c_t=\bigg(\frac{R}{(\beta R)^{\frac{1}{\gamma}}}-1\bigg) \cdot k_0 \cdot (\beta R)^{\frac{t}{\gamma}}.$

Uma observação sobre como alcançar o caminho de consumo equilibrado: Esse conceito geralmente existe quando há algum conflito entre equilíbrio e otimização ou quando o consumidor é racionalmente limitado. (Por exemplo, modelo de Solow.) Aqui não parece ser esse o caso. No entanto, quando esses conflitos ocorrem, geralmente existe uma convergência interminável (esta é a grafia correta desta palavra? Corrija se incorreta). A distância diminui a cada período, mas nunca se torna 0.

— Giskard
fonte