Qual é o significado dos pesos em uma função de produção CES?

Em outro artigo, ofereço dois tipos de funções de produção CES

$y=\left[\left(1-\omega \right) x_{1}^{\frac{\sigma -1}{\sigma}}+ \omega x_{2}^{\frac{\sigma -1}{\sigma}} \right]^{\frac{\sigma}{\sigma -1}}$

$y=\left[\left(1-\omega \right)^{\frac{1}{\sigma}} x_{1}^{\frac{\sigma -1}{\sigma}}+ \omega^{\frac{1}{\sigma}} x_{2}^{\frac{\sigma -1}{\sigma}} \right]^{\frac{\sigma}{\sigma -1}}$

a única diferença são os expoentes dos pesos.

Qual é a diferença de significado e interpretação dos dois pesos (nos níveis intuitivo e teórico). Importa qual versão usar em um artigo?

macroeconomics producer-theory

— Gravata de Chris
fonte

Os pesos são geralmente chamados de "parâmetros de distribuição" (parte superior da página 12 do documento vinculado), pois correspondem, no caso de um Cobb-Douglas, a cada fator compartilhado na produção total. Por exemplo, se os dois fatores fossem trabalho e capital, respectivamente, seria a parcela do trabalho e seria a parcela do capital. Como no caso de Cobb-Douglas ( ) ambas as especificações são idênticas, os pesos referem-se aos parâmetros de distribuição nas duas especificações. $(1-\omega)$ $\omega$ $\sigma=1$

Para ver isso, pegue a segunda equação. Primeiro, defina o compartilhamento de na produção total como $x_1$

λ_{1} \equiv \frac{w_{1} x_{1}}{p y}

$\lambda_1 \equiv \frac{w_1x_1}{py}$

onde é o retorno real ao fator (por exemplo, salário real). $\frac{w_1}{p}$ $x_1$

Sob condições competitivas, a (s) empresa (s) empregam até que seu produto marginal seja igual a . Este produto marginal é: $x_1$ $\frac{w_1}{p}$

\frac{\partial y}{\partial x_{1}} = (1 - ω)^{\frac{1}{σ}} {(\frac{y}{x_{1}})}^{\frac{1}{σ}} = \frac{w_{1}}{p}

$\frac{\partial y}{\partial x_1} = (1-\omega)^{\frac{1}{\sigma}}\left(\frac{y}{x_1}\right)^{\frac{1}{\sigma}} = \frac{w_1}{p}$

Combinando a igualdade posterior com a definição do compartilhamento de fator, você obtém esse

λ_{1} = (1 - ω)^{\frac{1}{σ}} {(\frac{y}{x_{1}})}^{\frac{1 - σ}{σ}}

$\lambda_1 = (1-\omega)^{\frac{1}{\sigma}} \left(\frac{y}{x_1}\right)^{\frac{1-\sigma}{\sigma}}$

No caso de um Cobb-Douglas ( ): $\sigma=1$

λ_{1} = (1 - ω)

$\lambda_1 = (1-\omega)$

Equivalentemente,

λ_{2} = ω

$\lambda_2 = \omega$

o que significa que , de acordo com o pressuposto de retornos constantes de escala, nas duas especificações. $\lambda_1 + \lambda_2 = 1$

Em relação à diferença entre os dois, de acordo com meus cálculos, a segunda especificação não abrange o caso Leontieff ( ). Isso ocorre porque, na primeira especificação, você pode resolver o limite de quando (usando o mínimo de , veja a equação (23) aqui ), você não pode fazer o mesmo com , porque o primeiro componente chega a zero (desde que a suposição padrão ). $\sigma = 0$ $(1-\omega)x_i^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}$ $\sigma \rightarrow 0$ $x_i$ $(1-\omega)^{\frac{1}{\sigma}}x_i^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}$ $0<\omega<1$

Portanto, se você quiser ser o mais geral possível, eu recomendaria a primeira especificação. Além disso, enquanto a primeira especificação é imo "muito comum", a segunda não, o que exigiria mais justificativas para o motivo da sua escolha. Se não houver nenhum benefício extra, então, pelo Navalha de Occam, o primeiro é definitivamente o preferido.

— luchonacho
fonte