dominância estocástica de segunda ordem sem a mesma média

Sejam e duas distribuições com a mesma média. é dita segunda ordem estocasticamente dominam ( SOSD ) se para todos crescente e côncava . $F$ $G$ $F$ $G$

\begin{matrix} (1) & \int u (x) d F (x) \geq \int u (x) d G (x) \end{matrix}

$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$

u (\cdot)

$u(\cdot)$

Essa definição acima é equivalente a

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{x} F (t) d t \leq \int_{- \infty}^{x} G (t) d t, \forall x \in R . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$

Disseram-me que o requisito de que e tenham a mesma média não é realmente necessário. Suponha que e que não têm a mesma média. Ainda podemos ter a equivalência entre e ? $F$ $G$ $F$ $G$ $(1)$ $(2)$

NB eu era capaz de mostrar sem a mesma condição média, mas não o contrário. $(2)\Rightarrow (1)$

microeconomics probability

— Herr K.
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$u(x) = x$

\begin{matrix} (1) & \int x d F (x) \geq \int x d G (x) ⟹ E_{F} (X) \geq E_{G} (X) \end{matrix}

$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$

$E_F(X) < E_G(X)$

$E_F(X) \geq E_G(X)$ $F$ $G$

$F$ $G$

— Alecos Papadopoulos
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