Aplicação do Teorema do Valor Intermediário para o Equilíbrio Geral


2

Aqui está um problema reafirmado da Teoria do Equilíbrio Geral de Ross Starr .

Considere uma economia de duas mercadorias com uma função de demanda em excesso . O espaço de preço é . Seja contínuo, limitado e cumpra a Lei de Walras como uma igualdade, ou seja, . Suponha que , , , . Use o teorema do valor intermediário e a Lei de Walras para mostrar que a economia tem um equilíbrio competitivo. Isto é, demonstre que existe um vetor de preço modo que .p P = { p | p R 2 , p 0 , p 1 + p 2 = 1 } Z ( p ) p 1 Z 1 ( p ) + p 2 Z 2 ( p )Z(p)=(Z1(p),Z2(p))pP={p|pR2,p0,p1+p2=1}Z(p)Z 1 ( 0 , 1 ) > 0 Z 1 ( 1 , 0 ) < 0 Z 2 ( 0 , 1 ) < 0 Z 2 ( 1 , 0 ) > 0 p P Z ( p ) = ( 0 , 0 )p1Z1(p)+p2Z2(p)=0Z1(0,1)>0Z1(1,0)<0Z2(0,1)<0Z2(1,0)>0pPZ(p)=(0,0)

E eu tenho uma dica: Caracterize como para . Use o teorema do valor intermediário para encontrar para que . Em seguida, aplique a lei de Walras.Z ( α , 1 - α ) 0 α 1 0 α 1 Z 1 ( α , 1 - α ) = 0Z(p)Z(α,1α)0α10α1Z1(α,1α)=0

Estou tendo problemas para encontrar , como eu poderia encontrá-lo?α


p 1 Z 1 ( )α é o na resposta de Kitsune. Nenhum valor explícito pode ser encontrado porque isso exigiria que a forma funcional explícita de fosse fornecida. p1Z1()
Herr K.

O que Herr K. disse. Além disso, por que você excluiu toda a questão OP?
Cavalaria Kitsune

1
A questão, tal como está, é incompreensível. O OP editou quase toda a questão original. No momento estou votando a fechar.
Alecos Papadopoulos

Eu reverti a edição. Se o OP insistir em alterá-lo, podemos reagir de acordo.
Kitsune Cavalaria

Respostas:


3

Uma dica mais forte: Escreva , de modo que . Use as condições etc. e o teorema do valor intermediário para argumentar que existe um tal que .p2=1p1Z(p)=Z(p1,1p1)Z1(0,1)>0,Z1(1,0)<0p1(0,1)Z1(p1,1p1)=0


3

Eu não conseguia pensar em uma boa dica. Se você está tendo problemas em usar as informações fornecidas, (como a aplicação do Walras + IVT é bastante simples), então não há muitas dicas que possam ajudar. Eu optei por colocar cada etapa explicitamente. Deixe-me saber se você não entende uma parte, e vou tentar editar para deixar tudo mais claro.

No futuro, é melhor se você tentar explicar em que parte você está tendo problemas, para que as pessoas possam ajudá-lo melhor (e também para evitar que suas perguntas sejam encerradas).


Nós temos:

Z(p)=(Z1(p1,p2),Z2(p1,p2))

e pode substituir como Herr K. apontou.p1=1p2

Z(p)=(Z1(p1,1p1),Z2(p1,1p1))

Z1 pode ser expresso como uma função de uma variável, , de modo que o Teorema do Valor Intermediário possa ser aplicado.Z1(p1)

No intervalo , temos , uma função contínua (e limitada) onde dadoI=(0,1)RZ1:IR

>Z1(p1=0)>0>Z1(p1=1)>

existe tal quep1(0,1)Z1(p1)=0

E pela lei de Walras,

p1Z1(p1,1p1)+(1p1)Z2(p1,1p1)=0

p10+(1p1)Z2(p1,1p1)=0

e porque(1p1)>0

Z2(p1,1p1)=0

significandoZ(p1):=Z(p1,p2)=(0,0)

Ao utilizar nosso site, você reconhece que leu e compreendeu nossa Política de Cookies e nossa Política de Privacidade.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.