Aplicação do Teorema do Valor Intermediário para o Equilíbrio Geral

Aqui está um problema reafirmado da Teoria do Equilíbrio Geral de Ross Starr .

Considere uma economia de duas mercadorias com uma função de demanda em excesso . O espaço de preço é . Seja contínuo, limitado e cumpra a Lei de Walras como uma igualdade, ou seja, . Suponha que , , , . Use o teorema do valor intermediário e a Lei de Walras para mostrar que a economia tem um equilíbrio competitivo. Isto é, demonstre que existe um vetor de preço modo que . $Z(p)=(Z_1(p),Z_2(p))$ $p \in P = \left \{ p | p \in \mathbb{R}^{2}, p \geq 0, p_1 + p_2 =1 \right \}$ $Z(p)$ $p_1Z_1(p)+p_2Z_2(p)=0$ $Z_1(0,1)>0$ $Z_1(1,0)<0$ $Z_2(0,1)<0$ $Z_2(1,0)>0$ $p* \in P$ $Z(p*)=(0,0)$

E eu tenho uma dica: Caracterize como para . Use o teorema do valor intermediário para encontrar para que . Em seguida, aplique a lei de Walras. $Z(p)$ $Z(\alpha , 1- \alpha)$ $0 \leq \alpha \leq 1$ $0 \leq \alpha \leq 1$ $Z_1(\alpha , 1- \alpha)=0$

Estou tendo problemas para encontrar , como eu poderia encontrá-lo? $\alpha$

microeconomics general-equilibrium

— Renzo Mauricio Guzmán Anaya
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α

$\alpha$ é o na resposta de Kitsune. Nenhum valor explícito pode ser encontrado porque isso exigiria que a forma funcional explícita de fosse fornecida.

p_{1}^{*}

$p_1^*$

Z_{1} (\cdot)

$Z_1(\cdot)$

— Herr K.

O que Herr K. disse. Além disso, por que você excluiu toda a questão OP?

— Cavalaria Kitsune

A questão, tal como está, é incompreensível. O OP editou quase toda a questão original. No momento estou votando a fechar.

— Alecos Papadopoulos

Eu reverti a edição. Se o OP insistir em alterá-lo, podemos reagir de acordo.

— Kitsune Cavalaria

Respostas:

Uma dica mais forte: Escreva , de modo que . Use as condições etc. e o teorema do valor intermediário para argumentar que existe um tal que . $p_2=1-p_1$ $Z(p)=Z(p_1,1-p_1)$ $Z_1(0,1)>0,Z_1(1,0)<0$ $p_1^*\in(0,1)$ $Z_1(p_1^*,1-p_1^*)=0$

— Herr K.
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Eu não conseguia pensar em uma boa dica. Se você está tendo problemas em usar as informações fornecidas, (como a aplicação do Walras + IVT é bastante simples), então não há muitas dicas que possam ajudar. Eu optei por colocar cada etapa explicitamente. Deixe-me saber se você não entende uma parte, e vou tentar editar para deixar tudo mais claro.

No futuro, é melhor se você tentar explicar em que parte você está tendo problemas, para que as pessoas possam ajudá-lo melhor (e também para evitar que suas perguntas sejam encerradas).

Nós temos:

Z (\vec{p}) = (Z_{1} (p_{1}, p_{2}), Z_{2} (p_{1}, p_{2}))

$Z(\vec p) = \bigg(Z_1(p_1, p_2), Z_2(p_1, p_2) \bigg)$

e pode substituir como Herr K. apontou. $p_1 = 1 - p_2$

Z (\vec{p}) = (Z_{1} (p_{1}, 1 - p_{1}), Z_{2} (p_{1}, 1 - p_{1}))

$Z(\vec p) = \bigg(Z_1(p_1, 1 - p_1), Z_2(p_1, 1-p_1) \bigg)$

$Z_1$ pode ser expresso como uma função de uma variável, , de modo que o Teorema do Valor Intermediário possa ser aplicado. $Z_1(p_1)$

No intervalo , temos , uma função contínua (e limitada) onde dado $I = (0, 1) \in \mathbb{R}$ $Z_1: I \rightarrow \mathbb{R}$

\infty > Z_{1} (p_{1} = 0) > 0 > Z_{1} (p_{1} = 1) > - \infty

$\infty > Z_1(p_1 = 0) > 0 > Z_1(p_1 = 1) > -\infty$

existe tal que $p_1^* \in (0, 1)$ $Z_1(p_1^*) = 0$

E pela lei de Walras,

p_{1}^{*} Z_{1} (p_{1}^{*}, 1 - p_{1}^{*}) + (1 - p_{1}^{*}) Z_{2} (p_{1}^{*}, 1 - p_{1}^{*}) = 0

$p_1^* Z_1(p_1^*, 1-p_1^*) + (1 - p_1^*) Z_2(p_1^*, 1-p_1^*) = 0$

p_{1}^{*} \cdot 0 + (1 - p_{1}^{*}) Z_{2} (p_{1}^{*}, 1 - p_{1}^{*}) = 0

$p_1^* \cdot 0 + (1 - p_1^*) Z_2(p_1^*, 1-p_1^*) = 0$

e porque $(1-p_1^*) > 0$

Z_{2} (p_{1}^{*}, 1 - p_{1}^{*}) = 0

$Z_2(p_1^*, 1-p_1^*) = 0$

significando $Z(p_1^*) := Z(p^*_1, p^*_2) = (0, 0)$

— Cavalaria Kitsune
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