Condição terminal para opção de venda americana

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Em um livro recente, li que o autor mencionava a condição terminal:

lim_{t \to T} V (S, t) = max {X - S, 0}

$\mathop {\lim }\limits_{t \to T} V(S,t) = \max \left\{ {X - S,0} \right\}$

Isso é intuitivo de entender.

Então, o autor define:

τ \equiv T - t

$\tau \equiv T - t$

Com isso, a condição do terminal acima pode ser simplificada para:

lim_{τ \to 0} V (S, τ) = 0

$\mathop {\lim }\limits_{\tau \to 0} V(S,\tau) = 0$

Isso não é tão intuitivo. Como o valor da opção pode ser igual a zero neste caso?

(nota: no espaço)

Σ_{1} = {(S, τ) | B (τ) \leq S < + \infty, 0 \leq τ \leq T}

${\Sigma _1} = \left\{ {(S,\tau )|B(\tau ) \le S < + \infty ,0 \le \tau \le T} \right\}$

Notações:

$X$ = preço de exercício

$S$ = preço das ações subjacentes

$T$ = tempo até o vencimento

$t$ = hora de hoje

$B(\tau)$ = limite ideal de exercício

options-pricing

— user10699
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O que é ? Suponho que é o preço do subjacente, é o preço de exercício e é a data de validade. Você realmente deve ser explícito sobre o que você quer dizer - a notação que você usa não é necessariamente padrão e nem todos terão lido o livro que você está lendo.

B (τ)

$B( \tau )$

S

$S$

X

$X$

T

$T$

— Economista Teórico

se você nunca visto esta notação antes de seu altamente improvável que você pode ajudar com a pergunta, mas eu poderia estar errado

— user10699

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Eu não acho que essa condição de fronteira tenha algo a ver com o preço ótimo de exercício e, portanto, deve ser válido para as opções de estilo europeu e americano. É simplesmente uma condição terminal que nos permite reescrever o PDE em formato fechado.

O relacionamento que você mostra acima, no qual:

$\mathop {\lim }\limits_{t \to T} V(S,t) = \max \left\{ {X - S,0} \right\}$

$\to$

$\mathop {\lim }\limits_{\tau \to 0} V(S,\tau) = 0$

significa, simplesmente, que o valor extrínseca da opção (ou seja, o valor em excesso de tende para como . $X-S> 0, \forall S<X)$ $0$ $t \to T$

Eliminar a função " " é simplesmente uma reafirmação da condição de pagamento em termos da função Heaviside. A função Heaviside é essencialmente equivalente à função máxima, exceto que impõe o seguinte limite em : $max$ $t=T$

$V(S,\,\tau)=0\quad \forall \;\;S<X$ ,

Embora a diferença pareça sutil, é importante, pois não precisa ser finito em S = 0, ou mesmo definido para esse assunto, o que nos permite executar com mais facilidade a substituição de variáveis necessárias para expressar o pagamento contingente em termos de equação de difusão (calor), que é a solução geral para o modelo de Black-Scholes. $V_t$

Espero que a intuição dessa condição de contorno seja mais clara com essa explicação.

— David Addison
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$T$ é fixado de modo se e somente se . Portanto, deve ser o caso que $\tau \to 0$ $t \to T$

lim_{τ \to 0} V (S, τ) = max {X - S, 0}

$\lim_{\tau \to 0} V(S,\tau) = \max \{ X-S,0 \}$

No entanto, quando , é ideal não exercer a opção. Isto significa que, , ele deve ser o caso que . Caso contrário, você não estaria em . $(S,\tau) \in \Sigma_1$ $\tau \to 0$ $X \le S$ $\Sigma_1$

— Economista Teórico
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