Condição de Transversalidade no modelo de crescimento neoclássico

No modelo de crescimento neoclássico, existe a seguinte condição de transversalidade:

lim_{t \to \infty} β^{t} u^{'} (c_{t}) k_{t + 1} = 0,

$\lim_{t\rightarrow\infty}\beta^{t}u'(c_{t})k_{t+1}= 0,$

k_{t + 1}

$k_{t+1}$

t

$t$

Minhas perguntas são:

Como derivamos essa condição?
Por que exigimos isso, se queremos descartar caminhos sem acúmulo de dívida?
Por que os multiplicadores de Lagrange $\beta^{t}u'(c_{t}) = \beta^{t}\lambda_{t}$ o valor descontado do capital atual?

economic-growth dynamic-optimization

— Neta_1990
fonte

Confira essas respostas para a distinção entre a condição de transversalidade optimality ea solvência exógena restrição , economics.stackexchange.com/a/13681/61 e economics.stackexchange.com/a/11866/61

— Alecos Papadopoulos

Tentei fornecer uma descrição não matemática da linguagem clara da intuição por trás da condição de transversalidade neste post: medium.com/@alexanderdouglas/… No entanto, não sou macroeconomista, por isso posso ter entendido errado. Nesse caso, espero que algumas respostas apareçam em breve.

— Alexander Douglas

Isso deve ser um comentário, pois você fornece apenas um link para conteúdo externo. Além disso, a condição de transversalidade não depende de nenhuma suposição sobre a formação de expectativas, pois é uma condição imposta mesmo em modelos determinísticos onde a incerteza está ausente. E não está especificamente relacionado à dívida do governo, mas a quaisquer ativos em geral. O ponto básico é o seguinte: supondo que não haja motivo de legado (não nos importamos com nossa prole ou sociedade), é subótimo "deixar para trás" a riqueza não consumida. É tudo o que há para isso.

— Alecos Papadopoulos

CONTINUAR É bastante direto com um horizonte finito e, como é habitual, quando o horizonte se torna "inifinito", torna-se um pouco menos direto e evidente.

— Alecos Papadopoulos

Respostas:

A condição de transversalidade pode ser mais facilmente entendida se partirmos de um problema com horizonte finito.

Na versão standard, o nosso objectivo é assunto para com fornecido. O Lagrangiano associado (com multiplicadores , e ) é Os FOCs são

max_{{c_{t}, k_{t + 1}}_{t = 0}^{T}} \sum_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t})

$\max_{\{c_t,k_{t+1}\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T\beta^t u(c_t)$

\begin{aligned} f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T & (resource/budget constraint) \\ c_{t}, k_{t + 1} & \geq 0, t = 0, \dots, T & (non-negativity constraint) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(k_t)-c_t-k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(resource/budget constraint)}\\ c_t,k_{t+1}&\ge0,\quad t=0,\dots,T &&\text{(non-negativity constraint)} \end{aligned}$

k_{0}

$k_0$

λ_{t}

$\lambda_t$

μ_{t}

$\mu_t$

ω_{t}

$\omega_t$

max_{{c_{t}, k_{t + 1}, λ_{t}, μ_{t}, ω_{t}}_{t = 0}^{T}} \sum_{t = 0}^{T} β^{t} u (c_{t}) + λ_{t} (f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1}) + μ_{t} c_{t} + ω_{t} k_{t + 1}

$\max_{\{c_t,k_{t+1},\lambda_t,\mu_t,\omega_t\}_{t=0}^T} \sum_{t=0}^T \beta^tu(c_t)+\lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})+\mu_tc_t+\omega_tk_{t+1}$

\begin{aligned} c_{t} : & β^{t} u^{'} (c_{t}) - λ_{t} + μ_{t} & = 0, t = 0, \dots, T \\ k_{t + 1} : & - λ_{t} + λ_{t + 1} f^{'} (k_{t + 1}) + ω_{t} & = 0, t = 0, \dots, T - 1 \\ (1) & k_{T + 1} : & - λ_{T} + ω_{T} & = 0, T + 1 \end{aligned}

$\begin{align} c_t:&& \beta^tu'(c_t)-\lambda_t+\mu_t&=0,\quad t=0,\dots,T \\ k_{t+1}:&& -\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})+\omega_t&=0,\quad t=0,\dots,T-1 \\ k_{T+1}:&& -\lambda_T+\omega_T&=0,\quad T+1 \tag{1} \end{align}$ com as condições de folga complementares de Kuhn-Tucker: para , Como a restrição de recurso deve ser vinculativa em todos os períodos, ou seja, para todos os , segue-se que no último período , , .

t = 0, \dots, T

$t=0,\dots,T$

\begin{aligned} λ_{t} (f (k_{t}) - c_{t} - k_{t + 1 1}) & = 0 0 & λ_{t} & \geq 0 0 \\ μ_{t} c_{t} & = 0 0 & μ_{t} & \geq 0 0 \\ 2) & ω_{t} k_{t + 1 1} & = 0 0 & ω_{t} & \geq 0 0 \end{aligned}

$\begin{align} \lambda_t(f(k_t)-c_t-k_{t+1})&=0 & \lambda_t&\ge0 \\ \mu_tc_t&=0 & \mu_t&\ge0\\ \omega_tk_{t+1}&=0&\omega_t&\ge0\tag{2} \end{align}$

λ_{t} > 0

$\lambda_t>0$

t

$t$

T

$T$

ω_{T} = λ_{T} > 0

$\omega_T=\lambda_T>0$

k_{T + 1} = 0

$k_{T+1}=0$

Normalmente assumimos que para todos os (a condição Inada), e isso implica para todos os . Portanto, o FOC de consumo se torna $c_t>0$ $t$ $\mu_t=0$ $t$

\begin{matrix} (3) & β^{t} {você}^{'} (c_{t}) = λ_{t} \end{matrix}

$\beta^tu'(c_t)=\lambda_t \tag{3}$

Observando as condições e no último período , obtemos Estendendo isso para o horizonte infinito, obtemos a condição de transversalidade $(1)$ $(2)$ $(3)$ $T$

β^{T} {você}^{'} (c_{T}) k_{T + 1 1} = 0 0

$\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

lim_{T \to \infty} β^{T} {você}^{'} (c_{T}) k_{T + 1 1} = 0 0

$\lim_{T\to\infty}\beta^Tu'(c_T)k_{T+1}=0$

A intuição da condição de transversalidade é em parte que "não há economia no último período". Mas como não há "período final" em um ambiente de horizonte infinito, assumimos o limite à medida que o tempo vai para o infinito.

— Herr K.
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Na minha opinião, a melhor derivação é pela lógica. Pense da seguinte maneira: se a única coisa que estamos dizendo à família é maximizar sua utilidade, o comportamento ideal seria apenas fazer dívidas infinitas e consumir infinitamente. Esta não é uma solução sensata. Portanto, precisamos de outra condição de otimização. Isso deve responder à pergunta 2.

Em um cenário de horizonte finito, a viabilidade seria alcançada se a dívida tivesse que ser paga até o último período. Isso não é possível em uma configuração de horizonte infinito. No entanto, "excluir a acumulação de dívida", como você sugere, é uma condição muito estrita (a condição de transversalidade permite a dívida!).

Para responder à pergunta 3, vejamos o termo . Representa o ganho (marginal) de utilidade (em utilidades de valor presente) de mudar unidades de capital para o período t e consumi-las. Se esse ganho de utilidade fosse positivo no infinito, poderíamos aumentar a utilidade geral consumindo mais no "período infinito"; portanto, nosso caminho de capital não seria o ideal. $\beta^t \lambda_t k_{t+1}$ $k_{t+1}$

Para a pergunta 1: para derivar essa condição, você pode criar o argumento lógico que acabei de apresentar, mostrando que sem a condição de transversalidade mantida, o caminho do capital não é o ideal ou, para uma prova matemática, você pode verificar, por exemplo, Pelas notas de Krusell (embora seja bastante difícil de entender)

— Gravata de Chris
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