Linearização logarítmica da equação de Euler com um termo de expectativa

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Existem alguns recursos online disponíveis para ajudar na linearização de log (por exemplo, aqui ou aqui ). No entanto, a linearização de log em que uma expectativa está envolvida é um pouco complicada, porque o log não pode simplesmente "passar" pelo operador de expectativa. Alguém poderia ajudar com a álgebra neste exemplo?

Eu tenho a equação de Euler (equação 1) onde. Estou tentando derivar uma expressão para a taxa livre de risco e uma expressão para o prêmio de capital. Como devo fazer isso?

1 = E_{t} [{δ {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{1 + R_{m, t + 1}}}^{1 - θ} 1 + R_{i, t + 1}]

$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$

θ = (1 - γ) / (1 - 1 / ψ)

$\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

Parece que a partir do segundo link acima que eu deveria começar substituindo as variáveis de interesse como assim . Seguindo os passos dados, parece que devo chegar a (equação 2) $C_t = c e^{\tilde C_t}$

\begin{aligned} 1 = E_{t} [{δ {(\frac{{\tilde{C}}_{t + 1} + 1}{{\tilde{C}}_{t} + 1})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{(1 + R_{m}) [\tilde{(1 + R_{m, t + 1})} + 1]}}^{1 - θ} \cdot \cdot [(1 + R_{i}) [\tilde{(1 + R_{i, t + 1})} + 1]]] . \end{aligned}

$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$

Mas para onde eu vou daqui?

EDITAR:

Copiei a equação 1 diretamente das notas que tenho. Provavelmente, o termo à direita deve estar entre parênteses . Na minha tentativa inicial de linearização de log, eu a tratei dessa maneira. $1 + R_{i,t+1}$ $(1 + R_{i,t+1})$
Na equação 2, segui as etapas da instrução que podem ser encontradas no segundo link no início. Assim, e sem subscritos tempo são esses valores no estado estacionário. $R_i$ $R_m$
é o retorno do portfólio de mercado e é o retorno do ativo . $R_m$ $R_i$ $i$

EDIT 2:

Obrigado pelos comentários úteis. Então, pelo que eu colecionei até agora, devo obter algo assim:

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) \\ \cdot (1 + R_{i}) ((1 + {\tilde{R}}_{i, t} \frac{R_{i}}{1 + R_{i}})] \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$

Isso implica que a taxa livre de risco é encontrada da seguinte forma:

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) (1 + R_{f})] \\ 1 & = E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{f})] \\ \frac{1}{E_{t} [m_{t + 1}]} & = 1 + R_{f} . \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$

Isso está correto? E agora, para finalizar a pergunta, como eu encontraria o prêmio de capital?

macroeconomics asset-pricing

— ethan1410
fonte

Estou fugindo, mas você tem acesso ao livro de Gali? Eu acho que ele faz isso extensivamente, IIRC

— FooBar

Não. É o livro de Política Monetária em que ele estaria? "Política monetária, inflação e ciclo de negócios?"

— ethan1410

A última igualdade que você deu (1 acima da taxa livre de risco é igual à expectativa do sdf) é sempre verdadeira, então esse é um bom sinal. Para encontrar o prêmio da equivalência patrimonial, encontre o preço de

, o valor de uma reivindicação ao mercado e subtraia o preço do retorno sem risco: 1.

E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{m})]

$E_t[m_{t+1}(1+R_m)]$

— jkk

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Vamos ignorar por um momento a existência do valor esperado. Se essa fosse uma configuração determinística, a linearização através da obtenção de logs seria simples e sem os truques dos links fornecidos pelo OP. Tomando troncos naturais em ambos os lados da primeira equação, obtemos:

\begin{matrix} (1) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} \ln (\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}) - (1 - θ) \ln (1 + R_{m, t + 1}) + \ln (1 + R_{i, t + 1}) \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$

Conjunto

\begin{matrix} (2) & {\hat{c}}_{t + 1} = \frac{C_{t + 1} - C_{t}}{C_{t}} \Rightarrow \frac{C_{t + 1}}{C_{t}} = 1 + {\hat{c}}_{t + 1} \end{matrix}

$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$

$\ln (1+a) \approx a$ $|a|<0.1$

\begin{matrix} (3) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} {\hat{c}}_{t + 1} - (1 - θ) R_{m, t + 1} + R_{i, t + 1} \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$

$\hat c_{t+1} =0$

\begin{matrix} (4) & R_{i} = - θ \ln δ + (1 - θ) R_{m} \end{matrix}

$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$

$E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$ $f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$ $f()$ $\mathbf z_{t+1}$ $t$ $\mathbf z_{t+1}$ $E_t(\mathbf z_{t+1})$

\begin{matrix} (5) & f (z_{t + 1}) \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) + \nabla f (E_{t} [z_{t + 1}]) \cdot (z_{t + 1} - E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$

Então

\begin{matrix} (6) & E_{t} [f (z_{t + 1})] \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$

$(3)$

\begin{matrix} (7) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} E_{t} [{\hat{c}}_{t + 1}] - (1 - θ) E_{t} [R_{m, t + 1}] + E_{t} [R_{i, t + 1}] \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$

Mas onde estão os valores no estado estacionário ? Bem, valores de estado estacionário em um contexto estocástico são um pouco complicados - estamos argumentando que nossas variáveis (que agora são tratadas como variáveis aleatórias) se tornam constantes ? Ou existe outra maneira de definir um estado estacionário em um contexto estocástico?

\begin{matrix} (8) & E_{t} (x_{t + 1}) = x_{t + 1} \end{matrix}

$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$

$(7)$ $(3)$

$(4)$

— Alecos Papadopoulos
fonte

@jmbejara Isso está perfeitamente correto . É o valor esperado da aproximação truncada de Taylor de primeira ordem de uma função. Você discorda disso? Se você considera uma aproximação abaixo do ideal , é outra questão e tem a ver com os critérios usados para julgar a qualidade e a adequação da aproximação.

— Alecos Papadopoulos

Está bem. Você tem um ponto. Mas, como você diz, não tenho certeza de qual é a melhor coisa na situação. Mas certamente parece haver diferentes maneiras de fazer isso. Definitivamente, há algo a ser dito sobre o viés, mas você levanta um bom argumento. Desfarei a votação assim que me permitir.

— jmbejara

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$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$ $f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$ $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$

\frac{Cov (f (x), x)}{Var(x)} \approx E [f^{'} (x)] .

$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$

x

$x$

EDITAR:

$f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$ $f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$ $E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$ $\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$ $\beta$

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - \bar{x}) + ϵ,

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$

E [ϵ] = 0.

$E[\epsilon] = 0.$

E [f (E [x]) + f^{'} (E [X]) (x - E [x])] = f (E [x]) \neq E [f (x)] .

$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$

— jmbejara
fonte

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - E [x])

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$

f (x)

$f(x)$

E [f (x)]

$E[f(x)]$

E [f (x)] \approx f (x) - \frac{Cov (f (x), x)}{Var (x)} \cdot [x - E (x)] ?

$E[f(x)] \approx f(x) - \frac {\text{Cov}(f(x),x)}{\text{Var}(x)}\cdot [x-E(x)]?$

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Seu problema parece uma equação de precificação de ativos com preferências recursivas (Epstein-Zin). Quando estiver interessado nos preços dos ativos, é preciso ter cuidado com a linearização "macroeconômica" usual. Essa aproximação é equivalente à certeza, o que significa que os coeficientes da solução linearizada não dependem do tamanho dos choques. Além disso, todas as variáveis na solução linearizada flutuam em torno de seus estados estacionários determinísticos. Como resultado, os prêmios de risco são zero, o que meio que desafia o argumento.

Uma solução é usar métodos de perturbação de ordem superior (2ª ordem para obter prêmios de risco constantes, 3ª ordem para prêmios de variação temporal). Isso é fácil de ser feito com o software existente (por exemplo, Dynare), se você quiser resolver o modelo numericamente de qualquer maneira (nesse caso, também não há necessidade de linearizar manualmente). Se preferir uma solução analítica (aproximada), a maneira usual é linearizar a dinâmica das quantidades (por exemplo, crescimento do consumo) e obter preços dos ativos diretamente da equação de Euler, computando as expectativas usando a suposição de normalidade do log, como em Bansal & Yaron (2004) .

Por exemplo, se variáveis em minúsculas são logs, a equação de Euler usual pode ser reescrita como

1 = E_{t} [\exp (m_{t + 1} + r_{t + 1})]

$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$

$m_{t+1},r_{t+1}$

\begin{matrix} (1) & 0 = E_{t} [m_{t + 1}] + E_{t} [r_{t + 1}] + \frac{1}{2} {V a r_{t} [m_{t + 1}] + V a r_{t} [r_{t + 1}] + 2 C o v_{t} [m_{t + 1}, r_{t + 1}]} \end{matrix}

$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$

$\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

r_{t}^{f} = - E_{t} [m_{t + 1}] - \frac{1}{2} V a r_{t} [m_{t + 1}]

$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$

e assim devemos ter

E_{t} [r_{t + 1}] - r_{t}^{f} + \frac{1}{2} V a r_{t} [r_{t + 1}] = C o v_{t} [m_{t + 1}, r_{t + 1}]

$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$

Para realmente calcular os preços dos ativos, seria necessário

expressar log-SDF como uma função linear de algumas variáveis de estado e choques (por exemplo, aumento do consumo de log no caso de CRRA)
linearize o retorno em termos de razão de log dividendo-preço (aproximação de Campbell-Shiller), substitua-o por (1).
expresse a razão log D / P como linear em variáveis de estado e use o método de coeficientes indeterminados para obter uma solução que satisfaça (1).

Na prática, é um pouco mais complicado (especialmente com as preferências de EZ, quando é necessário usar a abordagem primeiro para obter retorno de mercado que entra no SDF, depois pela segunda vez para outros retornos), mas mais detalhes podem ser encontrados, por exemplo, no link Bansal & Yaron papel.

— ivansml
fonte

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Exatamente. Parece que a confusão nessa discussão veio do fato de que em uma aproximação de primeira ordem de uma equação de Euler para precificação de ativos, não há prêmio de risco. (A covariância entre o SDF e o retorno, é claro, é inerentemente de segunda ordem.) Obrigado por esclarecer isso.

— nominalmente rígida