No modelo neo-keynesiano linearizado por log, o que , , realmente significam?

Essa pode ser uma pergunta estranha, mas infelizmente estou confuso com os termos. Suponhamos o modelo New Keynesiano linearizado em log, conforme sugerido por Gali aqui: http://crei.cat/people/gali/pdf_files/monograph/slides-ch3.pdf

Minha primeira pergunta é: aparentemente, o valor constante é assumido como linear de log de , saída, mas esse um valor constante ou todo o caminho da saída constante? Equivalentemente, é sobre como a produção evoluirá se evoluir sem fatores estocásticos e erros de acordo com a taxa natural de longo prazo?Y T Y Y Y $Y$$Y_t$$Y$$Y$$Y_t$

Minha segunda pergunta, relacionada à primeira pergunta, é se se refere à produção total ou à saída normalizada. Ou seja, se a economia tiver uma taxa positiva de crescimento do produto, crescerá? Ou é uma saída normalizada que não muda sem elementos estocásticos?Y $Y_t$$Y_t$

Minha terceira pergunta é: o que realmente quer dizer. Pelo que entendi, é apenas . Isso está correto? log Y $y_t$$\log Y_t$

O fato de existir a equação de Euler de consumo parece apoiar a intuição de que é um caminho de saída estável, e não um valor constante, já que a taxa de juros real costuma ser positiva para a economia. Toda a minha confusão surge daqui, e não tenho certeza se esse é o entendimento correto.$Y$

A linearização do log é realizada na vizinhança de um estado estacionário com inflação zero, produção constante e marcações constantes sobre o custo marginal, conforme indicado no slide 11 da apresentação de Galí que você vincula. Portanto, pretende realmente ser um valor constante, o nível de saída do estado estacionário em torno do qual a log-linearização é realizada. é apenas o nível da produção total no período , enquanto é o valor do log da produção total, como você diz.Y t t y t = log Y $Y$$Y_t$$t$$y_t=\log Y_t$

Vários pontos adicionais que parecem relevantes aqui:

• Essa derivação do modelo básico novo keynesiano é realizada sob o pressuposto de que não há crescimento do produto da tendência no estado estacionário. Podemos apenas ter certeza de que as equações log-linearizadas estão aproximadamente corretas para situações em que qualquer desvio desse estado estacionário de crescimento zero é suficientemente pequeno. Obviamente, como vivemos em um mundo com crescimento de tendência conspicuamente positivo, isso é potencialmente um problema - portanto, essa é uma preocupação muito válida da sua parte.
• Por acaso, acredito que as equações são muito semelhantes quando log-linearizamos em torno de um estado estacionário com crescimento positivo da produtividade da tendência (mas mantendo a premissa de inflação de tendência zero). Em particular, quando declarada em termos do hiato do produto e da taxa de juros natural, como na equação de Galí (10), a equação intertemporal de Euler é exatamente a mesma (embora observe que a taxa natural do estado estacionário é mais alto, onde é a taxa de crescimento da produtividade de tendências de log). A curva New Keynesian Phillips é um pouco mais confusa: no caso de preferências de log , existem vários cancelamentos legais e obtemos exatamente o mesmo NKPC, mas para outrosg um σ = 1 σ $r^n=\rho+\sigma \psi_{ya}g_a$$g_a$$\sigma=1$$\sigma$a taxa de desconto na inflação futura não é mais . Tudo isso é muito mais irritante de lidar, e é por isso que Galí a evitou pela simples exposição e ficou com o estado estacionário de crescimento zero.$\beta$
• Como mencionado acima, nem , nem são "saída normalizada" de qualquer tipo. No entanto, o hiato do produto definido na equação de Galí (7) é efetivamente normalizado na saída de log, subtraindo o log de "saída natural" que esperávamos de uma maneira flexível. mundo dos preços, dada a produtividade do log . Nesse sentido, o modelo pode acomodar flutuações na produtividade; mas, como afirmado acima, se essas flutuações forem muito grandes, a linearização do log em torno de um crescimento de tendência zero começará a se deteriorar e, se , precisarmos reescrever o NKPC de uma forma diferente para explicar isso.Y t y t ~ y t ≡ y t - y n t y n t um t σ ≠ $Y$$Y_t$$y_t$$\tilde{y}_t\equiv y_t-y_t^n$$y_t^n$$a_t$$\sigma\neq 1$
• Finalmente, estou um pouco confuso com o último parágrafo, mas você parece sugerir que o modelo pode ter uma taxa de crescimento positiva ", pois a taxa de juros real costuma ser positiva para a economia". Isso é um equívoco: a taxa de juros real no estado estacionário nesse modelo é positiva porque os agentes no modelo têm pura preferência no tempo, com uma taxa de desconto . Se você olhar abaixo da equação de Galí (10), verá que, quando não há produtividade, a taxa de juros real "natural" é , onde .r n t = ρ ρ = - log $\beta<1$$r_t^n = \rho$$\rho=-\log \beta$

O post a seguir explica de uma maneira um pouco mais fácil o que exatamente está acontecendo quando registramos um modelo linearizado.

http://economictheoryblog.com/2012/06/22/latexgx_t/

Passar pelo exemplo fornecido deve deixar claro quais são as etapas únicas.

Divulgação completa: não li as notas da aula que você forneceu com muito cuidado, mas acho que posso responder à sua pergunta.

Edit: Atenção, por não ler atentamente o link fornecido pela pergunta, eu perdi alguma coisa.

Os modelos padrão novos keynesianos (como o que Gali apresentou) são modelados sem crescimento. Se você escrever o modelo, poderá representá-lo como uma equação de diferença:

$$0 = E_t \left[ F(X_{t+1}, X_t, X_{t-1}, Z_{t}) \right]$$

onde contém todas as variáveis ​​relevantes e representa os choques para a economia. O "estado estacionário" normalmente se refere ao estado do mundo em que é constante (pense na solução estável para uma equação de diferença / diferença) e , portanto, você pode escrevê-lo como a solução para:$X_t$$Z_t$$X_t$$Z_t = 0$

$$0 = F(X, X, X, 0)$$

nesse caso, seria o valor do estado estacionário (note que os subscritos de tempo - às vezes também são feitos denotando estado estacionário com barras de sobrecarga ). É isso que ele está chamando de e é um valor constante.$X$$\bar{X}$$Y$

Para a segunda pergunta, eu não li atentamente, por isso não posso ter 100% de certeza, mas normalmente quando uma variável é escrita como ela faz referência ao valor real que é obtido (ou seja, se você resolveu o modelo e o simulou exatamente , esse é o valor que ele teria).$X_t$

Para a terceira pergunta, acho que uma compreensão mais profunda da linearização de log responderá a você. A linearização de log em seu coração é apenas uma expansão de Taylor em torno do estado estacionário. Considere uma equação genérica . Existem 3 etapas básicas para linearização de log (atualizei minha memória aqui ).$f(X_t, Y_t) = g(Z_t)$

• Tome logs
• Expansão Taylor de primeira ordem
• Álgebra

Primeiro pegamos logs,

$$\ln(f(X_t, Y_t)) = \ln(g(Z_t))$$

Se fizermos uma expansão de Taylor de primeira ordem no estado estacionário, podemos escrever:

$$\ln(f(X_t, Y_t)) \approx \ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y)$$

$$\ln(g(Z_t)) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

Assim, podemos escrever:

$$\ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

Lembre-se de que no estado estacionário e eu também multiplicarei por um em vários lugares ( etc ...), então$f(X, Y) = g(Z)$$\frac{X}{X}$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(X_t - X)}{X} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(Y_t - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$

Agora defina , e . Esse é o desvio percentual de de (e correspondentemente para e ). Em seguida, você pode escrever a equação log-linearizada como:$\hat{x_t} := \frac{(X_t - X)}{X}$$\hat{y_t} = \frac{(Y_t - Y)}{Y}$$\hat{z_t} := \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$X_t$$X$$Y_t$$Z_t$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{x_t} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{y_t} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \hat{z_t}$$

Duas coisas finais. Primeiro, uma sutileza que me pegou de surpresa na primeira vez que alternei entre o desvio percentual e os valores verdadeiros, e você pode estar ciente disso; valores que normalmente não são negativos podem ser negativos porque significa apenas que é essa porcentagem abaixo do estado estacionário. Em segundo lugar, as formas funcionais geralmente as simplificam bastante bem, como você provavelmente já viu nas equações log-linearizadas apresentadas.

Neste exemplo, Gali está usando como visto na outra resposta, por isso espero que isso forneça alguma intuição para o que está acontecendo em outro lugar.$y_t := \log Y_t$

Espero que isso tenha ajudado.