Prevendo


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Meu modelo estimado é

ln^(yt)=9.8730.472ln(xt2)0.01xt3

Estou pediu para encontrar um IC preditivo de 95% de confiança para a média de y0 , quando x02=250 , e x03=8 . Devemos assumir que s2x0(XTX)1x0T=0.000243952 , onde x0=(250,8) .

Eu tenho uma solução de um ano anterior, que é assim:

Eu encontrar o CI da forma CI(E[ln(y0)|x0])=[ln^(yt)tα/2sE,ln^(yt)+tα/2sE] , em que t é o quantil superior α/2 da distribuição t(nk) e sE=0.000243952 . Isso me dá[7.1563,7.2175].

Então o autor faz CI(E[y0 0|x0 0])=[e7.1563,e7.2175]=[1282.158,1363.077] .

Discordo deste último passo (pela desigualdade de Jensen, subestimaremos). Em Introdução a Econometria, de Wooldridge, na página 212, ele afirma que, se tivermos certeza de que os termos de erro são normais, um estimador consistente é:

E^[y0 0|x0 0]=es2/2eem^(y0 0)

Então, eu estava pensando em fazer

CI(E[y0 0|x0 0])=[es2/21282.158,es2/21363.077]=[1282.314,1363.243]

Isso está correto?

Além disso, a solução para este exercício afirma que , que está longe de ser a solução que eu tenho.CI(E[y0 0|x0 0])=[624.020,663.519]

Qualquer ajuda seria apreciada.

PS: Eu li também que a correção não deve ser usado para o CI mas apenas para o ponto estimativa E [ y 0 | x 0 ]E^[y0 0|x0 0]

Respostas:


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Você não encontra a mesma resposta por causa do que suspeito ser um erro tipográfico, que seria o principal motivo do seu problema: seria definido como 80 , não 8 . Outra possibilidade, se mantiver x 03 = 8 , é um erro no coeficiente segunda estimado, digamos, p 2 = - 0,1 em vez de - 0,01 .x03808x03=8β^2=-0,1-0,01

De qualquer forma, uma dessas modificações resolve tudo e produz o mesmo resultado que a solução para este exercício.

Considerando essa mudança, com , obtém-setα/2=1.96476138969835

Método 1

(a solução fornecida para este exercício)CI(E[y0 0|x0 0])=[e6.43618291164626,e6.49755798189177]=[624.020307335178,663.519326788772]

ou

Método 2

(como afirmado em Introdução a Econometria, de Wooldridge, na página 212), se temos certeza de que os termos de erro são normais (e um deles é extremamente sortudo)

CI(E[y0 0|x0 0])=[es2/2624.0203,es2/2663.5193]=[624.0960,663.6002]

Contudo

é improvável que o método 2 esteja correto, pois, como você mencionou na sua pergunta, a [...] correção (subestimação) não deve ser usada para o IC, mas apenas para a estimativa pontual.

Por quê ? Eu diria que por causa da dependência betweeen os dois termos, conhecendo as expectativas de , de um lado e ^ y 0 , por outro lado, não significa um sabe a um dos e s 2es2/2y0 0^ .es22+em(y0 0)^


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A previsão de pontos e o IC são diferentes.

Para previsão de pontos, estamos melhor corrigindo o viés o máximo possível. Para o IC, o que é necessário desde o início é que a probabilidade seja igual a . Quando [ a , b ] é o IC de 95% para ln ( y 0 ) , por exemplo, [ e um , e b ] é, certamente, um IC de 95% para y 0 porque P ( um LN X b ) = P (100(1 1-α)%[uma,b]em(y0 0)[euma,eb]y0 0 . Portanto, seu [ e 7.1563 , e 7.2175 ] é certamente um IC válido.P(umaemXb)=P(eumaXeb)[e7.1563,e7.2175]

Mas o centro desse IC não é o preditor ingênuo (exp [preditor de ]) nem o preditor corrigido de y 0 (um fator de correção multiplicado pelo preditor ingênuo) devido à desigualdade de Jensen, mas isso realmente não importa. Em alguns casos (nem sempre), você pode ser capaz de mudar o CI para [ e um - p , e b - q ] para alguns p e q para que a probabilidade ainda é de 95% e seu centro é o indicador-corrigido viés , mas não vejo sentido nisso.emy0 0y0 0[euma-p,eb-q]pq

O que você sugeriu, ou seja, não é um CI de 95%. Para ver por isso, permitir que o factor de correcção ser h (não aleatória e perfeitamente conhecido, por simplicidade), de modo que o preditor corrigido-polarização é H e θ , onde θ é o preditor imparcial de ln y 0 ( β 0 + β 2 ln x 2 + β 3 x[es2/2euma,es2/2eb]hheθθemy0 0 no seu exemplo). Este " h " pode ser estimada por e s 2 / 2 , por exemplo, mas enquanto que o último é aleatória, h é assumido não aleatória, de modo a tornar mais simples. Seja [ a , b ] o IC95% para ln y 0 , ou seja, P ( a ln y 0b ) = 0,95 . Então, P ( h e ay 0h e b )β^0 0+β^2emx2+β^3x3hes2/2h[a,b]lny0P(alny0b)=0.95 quenãoéigual a P ( a ln y 0b ) = 0,95 , a menos que a distribuição de ln y 0 seja uniforme, o que geralmente não é.

P(heay0heb)=P(lnh+alny0lnh+b),
P(alny0b)=0.95lny0

EDITAR

O acima é sobre o IC de , não de E ( y | X = x 0 ) . A pergunta original é sobre o IC para E ( y | X = x 0 ) . Deixe- E ( Y | X = x 0 ) = h exp ( x 0 β ) , que é estimado por h exp ( x 0 β )y0E(y|X=x0)E(y|X=x0)E(y|X=x0)=hexp(x0β)h^exp(x0β^). Nesse caso, acho que o método Delta é uma opção útil (veja a resposta de luchonacho).

Para ser rigoroso, precisamos da distribuição conjunta de h e β , ou para ser mais preciso, a distribuição assintótica do vetor h^β^. Então a distribuição limite den[(β^β),h^h]é obtido utilizando o método delta e, em seguida, para CI dehexp(x0β)pode ser construído.n[h^exp(x0β^)hexp(x0β)]hexp(x0β)


Obrigado por você responder Chan. A propósito, neste exercício, o estimador de pontos para ou E ( y | X 0 ) é igual. A estimativa resultante está fora do IC para E ( y | X 0 ), mas dentro do IC para y 0 . Os dois não deveriam estar dentro do seu IC? y0E(y|X0)E(y|X0)y0
Um velho no mar.

Sim, isso ajuda. Você poderia verificar esta minha pergunta. Está relacionado a isso. economics.stackexchange.com/questions/16891/…
Um homem velho no mar.

Em um comentário que fiz e excluí, cometi um erro. é obviamente diferente de exp { E ( log y | X = x 0 ) }, conforme a resposta de Alecos Papadopoulos à sua pergunta. Muito obrigado @Anoldmaninthesea, e desculpe por isso. I foi talvez pensando que exp ( x 0 β ) é suficientemente estreito para exp ( x 0 β )E(y|X=x0 0)exp{E(registroy|X=x0 0)}exp(x0 0β^)exp(x0 0β), que não é o que você criou. Hmm, nesse caso, sua observação é ainda mais interessante.
Chan1142 # 25/17

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Eu nunca pensei sobre esse problema. Eu vou agora. Portanto, trata-se do IC para . O método Delta explicado por luchonacho parece útil neste caso. Obrigado @Anoldmaninthesea por criá-lo. E(y|X=x0)
Chan1142

Chan, vinculei outra pergunta minha a esta. Lá, você encontrará uma resposta que escrevi que pode ser interessante.
Um velho no mar.

1

β

β^umaN(β,Vumar(β^)n)

(supondo que sua estimativa seja consistente)

β^F(β^)

F(β^)umaN(F(β),(F(β^)β^)2Vumar(β^)n)

F(β^)eβ^

Fonte e mais detalhes no documento vinculado.


lucho, não posso usar o método Delta para isso ... mas, de qualquer forma, obrigado. ;)
Um velho no mar.

: o porque não? Alguma suposição que eu li errado ou não afirmei?
Luchonacho #

11
Simplesmente não é o objetivo do exercício. Estou realmente interessado em saber qual método está correto. Além disso, seu método fornece uma distribuição aproximada, enquanto no exercício eles desejam um IC exato.
Um velho no mar.
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