Prevendo

Meu modelo estimado é

Estou pediu para encontrar um IC preditivo de 95% de confiança para a média de $y_0$ , quando $x_{02}=250$ , e $x_{03}=8$ . Devemos assumir que $s^2 x_0(X^TX)^{-1}x_0^T=0.000243952$ , onde $x_0=(250,8)$ .

Eu tenho uma solução de um ano anterior, que é assim:

Eu encontrar o CI da forma $\text{CI}(E[ln(y_0)|x_0])=\left[\hat\ln(y_t)-t_{\alpha/2}s_E,\hat \ln(y_t)+t_{\alpha/2}s_E\right]$ , em que $t$ é o quantil superior $\alpha/2$ da distribuição $t(n-k)$ e $s_E=\sqrt{0.000243952}$ . Isso me dá$[7.1563,7.2175]$.

Então o autor faz $\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{7.1563},e^{7.2175}]=[1282.158,1363.077]$ .

Discordo deste último passo (pela desigualdade de Jensen, subestimaremos). Em Introdução a Econometria, de Wooldridge, na página 212, ele afirma que, se tivermos certeza de que os termos de erro são normais, um estimador consistente é:

Então, eu estava pensando em fazer

Isso está correto?

Além disso, a solução para este exercício afirma que , que está longe de ser a solução que eu tenho.$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[624.020,663.519]$

Qualquer ajuda seria apreciada.

PS: Eu li também que a correção não deve ser usado para o CI mas apenas para o ponto estimativa E [ y 0 | x 0 ]$\hat E[y_0|x_0]$

Você não encontra a mesma resposta por causa do que suspeito ser um erro tipográfico, que seria o principal motivo do seu problema: seria definido como 80 , não 8 . Outra possibilidade, se mantiver x 03 = 8 , é um erro no coeficiente segunda estimado, digamos, p 2 = - 0,1 em vez de - 0,01 .$x_{03}$$80$$8$$x_{03}=8$$\hat{\beta}_2 = -0.1$$-0.01$

De qualquer forma, uma dessas modificações resolve tudo e produz o mesmo resultado que a solução para este exercício.

Considerando essa mudança, com , obtém-se$t_{\alpha/2}=1.96476138969835$

Método 1

(a solução fornecida para este exercício)$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{6.43618291164626},e^{6.49755798189177}]=[624.020307335178,663.519326788772]$

ou

Método 2

Contudo

é improvável que o método 2 esteja correto, pois, como você mencionou na sua pergunta, a [...] correção (subestimação) não deve ser usada para o IC, mas apenas para a estimativa pontual.

Por quê ? Eu diria que por causa da dependência betweeen os dois termos, conhecendo as expectativas de , de um lado e ^ y 0 , por outro lado, não significa um sabe a um dos e s $e^{s^2/2}$$\hat{y_0}$ .$e^{\frac{s^2}{2} + \hat{\ln(y_0)}}$

A previsão de pontos e o IC são diferentes.

Para previsão de pontos, estamos melhor corrigindo o viés o máximo possível. Para o IC, o que é necessário desde o início é que a probabilidade seja igual a . Quando [ a , b ] é o IC de 95% para ln ( y 0 ) , por exemplo, [ e um , e b ] é, certamente, um IC de 95% para y 0 porque P ( um ≤ LN X ≤ b ) = P $100(1-\alpha)\%$$[a,b]$$\ln(y_0)$$[e^a,e^b]$$y_0$ . Portanto, seu [ e 7.1563 , e 7.2175 ] é certamente um IC válido.$P(a\le \ln X\le b) = P(e^a \le X \le e^b)$$[e^{7.1563}, e^{7.2175}]$

Mas o centro desse IC não é o preditor ingênuo (exp [preditor de ]) nem o preditor corrigido de y 0 (um fator de correção multiplicado pelo preditor ingênuo) devido à desigualdade de Jensen, mas isso realmente não importa. Em alguns casos (nem sempre), você pode ser capaz de mudar o CI para [ e um - p , e b - q ] para alguns p e q para que a probabilidade ainda é de 95% e seu centro é o indicador-corrigido viés , mas não vejo sentido nisso.$\ln y_0$$y_0$$[e^{a-p}, e^{b-q}]$$p$$q$

O que você sugeriu, ou seja, não é um CI de 95%. Para ver por isso, permitir que o factor de correcção ser h (não aleatória e perfeitamente conhecido, por simplicidade), de modo que o preditor corrigido-polarização é H e θ , onde θ é o preditor imparcial de ln y 0 ( β 0 + β 2 ln x 2 + β 3 $[e^{s^2/2}e^a,e^{s^2/2}e^b]$$h$$he^{\theta}$$\theta$$\ln y_0$ no seu exemplo). Este " h " pode ser estimada por e s 2 / 2 , por exemplo, mas enquanto que o último é aleatória, h é assumido não aleatória, de modo a tornar mais simples. Seja [ a , b ] o IC95% para ln y 0 , ou seja, P ( a ≤ ln y 0 ≤ b ) = 0,95 . Então, P ( h e a ≤ y 0 ≤ h e b$\hat\beta_0 + \hat\beta_2 \ln x_2 + \hat\beta_3 x_3$$h$$e^{s^2/2}$$h$$[a,b]$$\ln y_0$$P(a\le \ln y_0\le b)=0.95$ quenãoéigual a P ( a ≤ ln y 0 ≤ b ) = 0,95 , a menos que a distribuição de ln y 0 seja uniforme, o que geralmente não é.

EDITAR

O acima é sobre o IC de , não de E ( y | X = x 0 ) . A pergunta original é sobre o IC para E ( y | X = x 0 ) . Deixe- E ( Y | X = x 0 ) = h exp ( x 0 β ) , que é estimado por h exp ( x 0 β$y_0$$E(y|X=x_0)$$E(y|X=x_0)$$E(y|X=x_0) = h\exp(x_0\beta)$$\hat{h} \exp(x_0 \hat{\beta})$. Nesse caso, acho que o método Delta é uma opção útil (veja a resposta de luchonacho).

Para ser rigoroso, precisamos da distribuição conjunta de h e β , ou para ser mais preciso, a distribuição assintótica do vetor √$\hat{h}$$\hat\beta$. Então a distribuição limite de$\sqrt{n}[(\hat\beta-\beta)', \hat{h}-h]'$é obtido utilizando o método delta e, em seguida, para CI dehexp(x0β)pode ser construído.$\sqrt{n}[\hat{h} \exp(x_0\hat{\beta}) - h\exp(x_0\beta)]$$h\exp(x_0\beta)$

$\beta$

(supondo que sua estimativa seja consistente)

$\hat{\beta}$$F(\hat{\beta})$

$F(\hat{\beta})$$e^\hat{\beta}$

Fonte e mais detalhes no documento vinculado.