É possível derivar curvas de indiferença, dada a função de demanda marshalliana?

Em um mundo com dois bens, uma demanda marshalliana funcionará como D(p,m)onde p é o preço de um bem e a renda produzirá uma função de utilidade ou função de curva de indiferença? Se sim, como alguém resolve isso?

microeconomics utility consumer-theory

— Howard Black
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Sim, sob algumas condições. Esse é o problema clássico de integrabilidade : para uma discussão detalhada, veja algumas excelentes notas de Kim Border .

Várias outras condições técnicas são necessárias, mas a condição mais substantiva economicamente é que a matriz Slutsky deve sempre ser simétrica e semidefinida negativa. Para ser concreto, se definir o º elemento da matriz Slutsky em ser $ij$ $(p,m)$ então devemos terpara todose também para qualquer vetordevemos ter para todos Anecessidade

σ_{Eu j} (p, m) = \frac{\partial D_{Eu} (p, m)}{\partial p_{j}} + D_{j} (p, m) \frac{\partial D_{Eu} (p, m)}{\partial m}

$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$

σ_{i j} (p, m) = σ_{j i} (p, m)

$\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$

(p, m)

$(p,m)$

v

$v$

(p, m)

$(p,m)$

\sum_{Eu} \sum_{j} σ_{Eu j} (p, m) v_{Eu} v_{j} \leq 0 0

$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$ dessas condições decorre imediatamente da teoria básica do consumidor, que mostra que, se a demanda marshalliana é derivada da maximização restrita de uma função de utilidade, a matriz Slutsky é simétrica e semidefinida negativa. Mas a suficiência dessas condições (em conjunto com outras premissas técnicas) para recuperarmos uma função de utilidade é uma questão mais complicada e, para obter os detalhes, recomendo as anotações de Border ou alguma outra fonte micro avançada.

$i=1,2$

\frac{\partial e (p, você)}{\partial p_{Eu}} = h_{Eu} (p, você) = D_{Eu} (p, e (p, você))

$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$

D

$D$

e

$e$

(\bar{p}, \bar{m})

$(\bar{p},\bar{m})$

\bar{u}

$\bar{u}$

e (\bar{p}, \bar{u}) = \bar{m}

$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$

p_{1}

$p_1$

i = 1

$i=1$

e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u})

$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$

p_{1}

$p_1$

h (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{você}) = D (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{você}))

$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$

p_{1}

$p_1$

$\bar{u}$ $p_1$ $p_1$

— nominalmente rígido
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