A relação entre a função de despesa e muitas outras!

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Não entendo as relações entre demanda hicksiana, demanda walrasiana (marshalliana), a função de despesa e a função de utilidade indireta (incluindo a função de valor V (b)). Achei esse assunto muito difícil e não consigo compreender como eles se relacionam devido à formalidade usada nos livros que tenho disponíveis!

Eu entendo como derivar a utilidade indireta, no entanto, preciso estar confortável para mostrar como posso usá-la para derivar a função de despesa e o resto e como elas diferem nas dualidades!

microeconomics consumer-theory utility

— Arie
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Na sequência do diagrama MWG excelente resposta de Amstell, a observação fundamental necessário é que a participação fixo, e são inversos um do outro . nos diz a quantidade que precisamos gastar para obter uma certa quantidade de utilidade , enquanto nos diz a quantidade máxima de utilidade que podemos obter de uma certa despesa . Sempre que queremos converter de utilidade em riqueza, usamos ; e sempre que queremos converter de riqueza em utilidade, usamos . $p$ $e$ $v$ $e$ $u$ $v$ $w$ $e$ $v$

Todas as identidades principais podem ser derivadas dessa observação. Por exemplo, suponha que desejemos derivar uma identidade para . Já sabemos a identidade correspondente para a função de despesa, . Para transformar isso em uma identidade para , substituímos $\partial v(p,w)/\partial p_i$ $\partial e(p,u)/\partial p_i=h_i(p,u)$ $v$ $w=e(p,u)$ , obtendo e diferencie em relação a . A regra da cadeia implica $v(p,e(p,u))=u$ $p_i$ que, se dividirmos porem ambos os lados, torna-se a identidade de Roy.

\frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial p_{i}} + \frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = 0 ⟺ \frac{\partial v (p, w)}{\partial p_{i}} = - \frac{\partial v (p, w)}{\partial w} \cdot x_{i} (p, w)

$\frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} =0\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial v(p,w)}{\partial p_i} = -\frac{\partial v(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$

- \partial v / \partial w

$-\partial v/\partial w$

Ou suponha que desejemos derivar a equação de Slutsky, que fornece a relação entre os derivativos da demanda marshalliana e hicksiana (decompondo uma mudança de demanda marshalliana em efeitos de substituição e renda). Analogamente ao acima, podemos substituir na demanda marshalliana para obter . Então, diferenciando em relação a $w=e(p,u)$ $x(p,w)$ $x(p,e(p,u))=h(p,u)$ em ambos os lados e a aplicação da regra da cadeia fornece $p_i$ Em geral, eu acho que o "switch entre heurísticaeconforme necessário, utilizandoe" permite que você obtenha praticamente tudo aqui. (A heurística semelhante também é útil se você nunca lidar com sistemas de demanda Frisch, onde marginal utilitydesempenha o mesmo papel queefazer em sistemas de demanda hicksiana marshalliana e.)

\frac{\partial x (p, e (p, u))}{\partial p_{i}} + \frac{\partial x (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{i}} ⟺ \frac{\partial x (p, w)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{i}} - \frac{\partial x (p, w)}{\partial w} \cdot x_{i} (p, w)

$\frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = \frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i}\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial x(p,w)}{\partial p_i}=\frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i} - \frac{\partial x(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$

w

$w$

u

$u$

v

$v$

e

$e$

λ

$\lambda$

w

$w$

u

$u$

$\partial e(p,u)/\partial p_i = h_i(p,u)$ $w=e(p,u)$ $\partial e(p,u)/\partial p_i = x_i(p,w)$ teorema do envelope .

$\partial v/\partial p_i$ $p_i$ $\partial v/\partial w$ $\partial v/\partial p_i$ $\partial e/\partial p_i$

— nominalmente rígido
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Não tenho certeza de quanto isso ajudará, mas o diagrama da Mas-Colell p.75 é algo que sempre tenho em mente ao derivar essas funções. Não tenho certeza de quais livros você está usando, mas Microeconomia por Mas-Colell et al. é o recurso para se formar. Mas prefiro Análise Microeconômica da Varian. Muito mais fácil de ler e ainda possui o conteúdo importante necessário para o trabalho de pós-graduação. Pela minha experiência, derivar o maior número possível de demandas walrasianas e apenas trabalhar o processo é o que me deixou à vontade com o entendimento. Se você estiver procurando por exemplos, posso aplicar algumas fórmulas para mostrar como funciona, mas você parece entender isso. Também tenho páginas e problemas de prática se você precisar de outro recurso também. Espero que isto ajude :)

Microeconomia: Mas-Colell

Atualização: Aqui estão alguns problemas de prática de alguns dos meus conjuntos de problemas. Cuidado com o último. Desfrutar

Se possível, calcule Hicksian, Walrasian, Despesas e Indireto para cada um dos seguintes:

$e(p,u) = (p_{1} + p_{2})u$
$e(p,u) = p_{1} +p_{2} + up_{1}$
$h(p,u) = ( \frac{up_{2}}{p_{1}} , \frac{up_{1}}{p_{2}})$
$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

Editar; Atualize para explicar # 4

$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

$(x_{1}, x_{2})$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} = w$

Uma das propriedades da demanda walrasiana é a lei de Walras.

$px = w$

Uma maneira simples de mostrar que a Lei de Walras não se aplica é simplesmente conectar as demandas pela restrição de renda.

$p_{1} ( \frac{w}{p_{1}}) + p_{2} ( \frac{w}{p_{2}}) = w$

$2w \neq w$

— Amstell
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