O

O famoso artigo de Newey 94 sobre a convergência assintótica de estimadores semiparamétricos com um primeiro passo não paramétrico e um segundo passo paramétrico, http://www.jstor.org/stable/2951752 , estabelece que não importa a taxa de convergência dos estimadores. estimador não paramétrico específico, desde que um número de premissas de regularidade seja cumprido, o estimador do segundo passo é convergente para uma distribuição normal. Aqui estou pedindo intuição por que isso é um processo estocástico complicado, digamos, a distribuição assintótica de Naradaya-Watson converge para essa boa distribuição. $\sqrt{N}$

econometrics

— user157623
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Se ninguém responder em 2 dias, tentarei CV ou MSE. Não se esqueça de vincular as perguntas. boa sorte

— um velho no mar.

A prova usual do teorema clássico do limite central (CLT), creio, fornece a maior intuição que existe sobre esse fenômeno. E não é muita intuição de qualquer maneira.

Esta prova "usual" é através de funções características.

Considere uma variável aleatória com função característica $X$

ϕ_{X} (t) = E (e^{i t X}), i^{2} = - 1

$\phi_X(t) = E(e^{i tX}), \;\;\;i^2 = -1$

Agora considere sua versão centralizada e escalada

Y = \frac{X - μ}{σ} = \frac{1}{σ} X - \frac{μ}{σ}

$Y = \frac {X-\mu}{\sigma} = \frac 1{\sigma}X - \frac {\mu}{\sigma}$

com . Além disso, é a soma de duas variáveis aleatórias independentes, a segunda degenerada (sendo uma constante e, portanto, também independente de tudo). Assim, pelas propriedades da função característica para a soma de duas variáveis aleatórias independentes $E(Y) = 0 , {\rm Var}(Y) E(Y^2)= 1$ $Y$

ϕ_{Y} (t) = ϕ_{Y} (\frac{1}{σ} t) \cdot e^{- i \frac{μ}{σ} t} = E [\exp {i t \frac{1}{σ} X - i \frac{μ}{σ} t}] = E (e^{i t Y})

$\phi_Y(t) = \phi_Y\left(\frac 1{\sigma}t\right)\cdot e^{-i\frac {\mu}{\sigma}t} = E\left[\exp{\left\{it\frac 1{\sigma}X - i\frac {\mu}{\sigma}t\right\}}\right] = E(e^{i tY})$

$\phi_Y(t)$ $Y$ $E(Y) =0$

ϕ_{Y} (t) = E [e^{i t \frac{1}{σ} \cdot 0} + i t e^{i t \cdot 0} Y + \frac{1}{2} i^{2} t^{2} e^{i t \cdot 0} Y^{2} + o (t^{2}) =]

$\phi_Y(t) = E\left[e^{it\frac 1{\sigma}\cdot 0} + ite^{it\cdot 0}Y + \frac 12 i^2t^2e^{it\cdot 0}Y^2 + o(t^2)= \right]$

$E(Y) =0$ $i^2=-1, E(Y^2) =1$

ϕ_{Y} (t) = 1 - \frac{t^{2}}{2} + o (t^{2})

$\phi_Y(t) = 1 - \frac {t^2}2 + o(t^2)$

O "fenômeno" já está aqui porque

\frac{t^{2}}{2} = em M G F_{Z} (t), Z \sim N (0 0, 1)

$\frac {t^2}2 = \ln MGF_{Z}(t),\;\; Z\sim {\rm N}(0,1)$

$\ln MGF_{Z}(t)$

Como isso pode acontecer? Descobrimos aqui uma "lei da natureza", essa conexão fundamental de diferentes "tipos de comportamento incerto" com o tipo específico denominado "distribuição normal padrão" ou é apenas o nosso sistema matemático, através do qual modelamos essa coisa chamada " incerteza ", produzindo alguma conexão artificial que talvez revele algum aspecto de sua própria estrutura interna, mas não tem nada a ver com o mundo real ?

Z_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{Eu = 1}^{n} Y_{Eu}

$Z_n = \frac 1{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nY_i$

$Y_i$

ϕ_{Z_{n}} (t) = \prod_{Eu = 1}^{n} ϕ_{Y} (t \sqrt{n}) = [1 - \frac{t^{2}}{2 n} + o (\frac{t^{2}}{n})]^{n} \overset{n \to \infty}{\to} e^{- t^{2} / 2} = ϕ_{Z} (t), Z \sim N (0 0, 1)

$\phi_{Z_n}(t) = \prod_{i=1}^n\phi_{Y}(t\sqrt{n}) = \Big[1 - \frac {t^2}{2n} + o(\frac {t^2}{n})\Big]^n \xrightarrow{n\rightarrow \infty} e^{-t^2/2} = \phi_{Z}(t),\;\; Z\sim {\rm N}(0,1)$

e entao

Z_{n} \overset{d}{\to} N (0 0, 1)

$Z_n \xrightarrow{d} {\rm N}(0,1)$

... e agora chegamos à distribuição normal padrão adequada. E essa é uma lei da natureza: matemática à parte, simulações por computador à parte, dados do mundo real validam consistentemente esse resultado. Portanto, não há mais "por quê?" aqui - como não pode ser com nenhuma lei da natureza. Nós apenas os descobrimos - e sentimos vontade de ganhar mais intuição quando descobrimos as interconexões entre essas leis (mas isso não é realmente perspicaz, são apenas mais descobertas).

É claro que este é o primeiro e mais simples caso, em uma longa linha de Teoremas de Limites Centrais que lidam cada vez mais com funções mais complicadas e interdependentes de variáveis aleatórias, processos estocásticos, etc., como o mencionado no OP. E há também as generalizações de CLT para distribuições estáveis e não apenas o normal, e não há teoria de valores extremos ... todos esses são aspectos diferentes de uma mesma conclusão: que o comportamento coletivo (mesmo no sentido simples de pool comportamento) é muito mais homogêneo do que comportamentos individuais, mesmo que seja apenas o conjunto desses últimos - e esse deve ser um dos resultados mais contra-intuitivos já encontrados.

PS: Uma tentativa inspirada de intuição de baixo para cima é fornecida por @whuber neste tópico Cross Validated: https://stats.stackexchange.com/questions/3734/what-intuitive-explanation-is-there-for-the-central- teorema do limite

— Alecos Papadopoulos
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