Diferenciação da função de valor em Burdett Mortensen (1998)


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Atualmente, estou fazendo o meu caminho através do clássico artigo de Burdett e Mortensen sobre a procura de emprego. O que deveria ser uma tarefa fácil de encontrar uma expressão para o salário de reserva é um pouco mais complicado pela presença do operador máximo. Somos confrontados com a seguinte equação de Bellman para o valor de um trabalho que paga um salário W . As equações do mensageiro são padrão. O valor de um trabalho que paga W consiste no salário W mais o ganho esperado da pesquisa e busca de um emprego melhor descontado pela probabilidade de uma oferta de emprego λ1 1 mais a perda de ficar desempregado quando o trabalho é destruído à taxa δ . O valor do desemprego V0 0bλ0 0F r V 0 = b + λ 0 [ max { V 0 , V 1 ( ˜ x ) }

rV1(w)=w+λ1[max{V1(w),V1(x~)}V1(w)]dF(x~)+δ[V0V1(w)]
V 1 ( w ) w V 0
rV0 0=b+λ0 0[max{V0 0,V1 1(x~)}dF(x~)-V0 0]
V1 1(W)WV0 0é independente disso, sabemos que existe um salário de reserva, de modo que se , w <R \ implica V_1 (w) <V_0 e V_1 (R) = V_0 . Argumentos padrão (integração por partes) mostram que \ begin {equation} Rb = (\ lambda_0- \ lambda_1) \ int_R ^ \ infty V_1 '(\ tilde {x}) [1-F (\ tilde {x})] \ ; d \ tilde {x} \ end {equação} a partir daqui, gostaria de pegar a derivada da primeira equação e resolver por V_1 '(w) . No entanto, se eu usar a regra de integração Leibniz, preciso que o integrando seja diferenciável. O máximo de duas funções contínuas geralmente não é diferenciável onde são iguais, então eu tenho um problema. Se eu presumir que integro em todos os \ tilde {x} \ geq w , w < RW>RV1 1(W)>V0 0W<RV1 1(W)<V0 0 R - b = ( λ 0 - λ 1 ) R V ' 1 ( ~ x ) [ 1 - F ( ~ x ) ]V1 1(R)=V0 0 V 1 ( w )
R-b=(λ0 0-λ1 1)RV1 1(x~)[1 1-F(x~)]dx~
V1 1(W)V1( ˜ x )V1(w)x~WV1 1(x~)V1 1(W) (ofertas salariais que induzirão um trabalhador a trocar de emprego) e o resultado segue a regra de Leibniz. Mas há salários na distribuição que não serão aceitos e esse derivado não se manterá. O derivado é
V(x~)=1 1r+δ+λ1 1(1 1-F(x~))
eu imaginar I estou faltando alguma coisa, mas não tenho certeza do quê. Se alguém pudesse me dar algum conselho, eu realmente apreciaria.

Respostas:


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Quando você usa a integral de um operador , acho que você deve dividir a integral em duas integrais separadas com diferentes apoios.max{}

Mesmo se sua função de valor for complicada e não houver diferenciabilidade, você só precisará de continuidade para que exista uma solução para resolver o problema de otimização.


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Aqui está minha tentativa, em que assumo um limite superior absoluto no suporte de , , para simplificar.F ( ¯ w ) = 1FF(W¯)=1 1

Reescreva a primeira equação como que

rV1 1(W)=W+λ1 1WW¯V1 1(x~)dF(x~)+λ1 10 0WV1 1(W)dF(x~)Eu-λ1 10 0W¯V1 1(W)dF(x~)+δ[V0 0-V1 1(W)] ,
-λ1 10 0W¯V1 1(W)dF(x~)=-λ1 1WW¯V1 1(W)dF(x~)-λ1 10 0WV1 1(W)dF(x~)EuEu .

Os termos e cancelados, de modo que a organização fornece Se aplicarmos o conhecimento de regra de Leibniz, obteremos que a última igualdade segue de . A solução para fornece a solução desejada.EuEuEu

(δ+r)V1 1(W)=W+λ1 1WW¯[V1 1(x~)-V1 1(W)]dF(x~)+δV0 0 .
(δ+r)V1 1(W)=1 1-λ1 1WW¯V1 1(W)dF(x~)=1 1-λ1 1V1 1(W)[1 1-F(W)] ,
F(W¯)=1 1V1 1(W)
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