Diferenciação da função de valor em Burdett Mortensen (1998)

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Atualmente, estou fazendo o meu caminho através do clássico artigo de Burdett e Mortensen sobre a procura de emprego. O que deveria ser uma tarefa fácil de encontrar uma expressão para o salário de reserva é um pouco mais complicado pela presença do operador máximo. Somos confrontados com a seguinte equação de Bellman para o valor de um trabalho que paga um salário $w$ . As equações do mensageiro são padrão. O valor de um trabalho que paga $w$ consiste no salário $w$ mais o ganho esperado da pesquisa e busca de um emprego melhor descontado pela probabilidade de uma oferta de emprego $\lambda_1$ mais a perda de ficar desempregado quando o trabalho é destruído à taxa $\delta$ . O valor do desemprego $V_0$ $b$ $\lambda_0$ $F$

r V_{1} (w) = w + λ_{1} [\int max {V_{1} (w), V_{1} (\tilde{x})} - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)]

$\begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation}$

r V_{0 0} = b + λ_{0 0} [\int max {V_{0 0}, V_{1 1} (\tilde{x})} d F (\tilde{x}) - V_{0 0}]

$\begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation}$

V_{1} (w)

$V_1(w)$

w

$w$

V_{0}

$V_0$ é independente disso, sabemos que existe um salário de reserva, de modo que se ,

e

. Argumentos padrão (integração por partes) mostram que

partir daqui, gostaria de pegar a derivada da primeira equação e resolver por

. No entanto, se eu usar a regra de integração Leibniz, preciso que o integrando seja diferenciável. O máximo de duas funções contínuas geralmente não é diferenciável onde são iguais, então eu tenho um problema. Se eu presumir que integro em todos os

,

w > R ⟹ V_{1} (w) > V_{0}

$w>R\implies V_1(w)>V_0$

w < R ⟹ V_{1} (w) < V_{0}

$w<R\implies V_1(w)<V_0$

V_{1} (R) = V_{0}

$V_1(R)=V_0$

R - b = (λ_{0 0} - λ_{1 1}) \int_{R}^{\infty} V_{1 1}^{'} (\tilde{x}) [1 1 - F (\tilde{x})] d \tilde{x}

$\begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\;d\tilde{x} \end{equation}$

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$

\tilde{x} \geq w

$\tilde{x}\geq w$

V_{1} (\tilde{x}) \geq V_{1} (w)

$V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$ (ofertas salariais que induzirão um trabalhador a trocar de emprego) e o resultado segue a regra de Leibniz. Mas há salários na distribuição que não serão aceitos e esse derivado não se manterá. O derivado é

V^{'} (\tilde{x}) = \frac{1 1}{r + δ + λ_{1 1} (1 1 - F (\tilde{x}))}

$\begin{equation} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation}$ eu imaginar I estou faltando alguma coisa, mas não tenho certeza do quê. Se alguém pudesse me dar algum conselho, eu realmente apreciaria.

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— marca
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Quando você usa a integral de um operador , acho que você deve dividir a integral em duas integrais separadas com diferentes apoios. $\max_{\{\cdot\}}$

Mesmo se sua função de valor for complicada e não houver diferenciabilidade, você só precisará de continuidade para que exista uma solução para resolver o problema de otimização.

— Cavalaria Kitsune
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0

Aqui está minha tentativa, em que assumo um limite superior absoluto no suporte de , , para simplificar. $F$ $F(\overline{w})=1$

Reescreva a primeira equação como que

r V_{1 1} (W) = W + λ_{1 1} \int_{W}^{\bar{W}} V_{1 1} (\tilde{x}) d F (\tilde{x}) + \underset{Eu}{\underset{⏟}{λ_{1 1} \int_{0 0}^{W} V_{1 1} (W) d F (\tilde{x})}} - λ_{1 1} \int_{0 0}^{\bar{W}} V_{1 1} (W) d F (\tilde{x}) + δ [V_{0 0} - V_{1 1} (W)],

$\begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation}$

- λ_{1 1} \int_{0 0}^{\bar{W}} V_{1 1} (W) d F (\tilde{x}) = - λ_{1 1} \int_{W}^{\bar{W}} V_{1 1} (W) d F (\tilde{x}) - \underset{Eu Eu}{\underset{⏟}{λ_{1 1} \int_{0 0}^{W} V_{1 1} (W) d F (\tilde{x})}} .

$\begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{equation}$

Os termos e cancelados, de modo que a organização fornece Se aplicarmos o conhecimento de regra de Leibniz, obteremos que a última igualdade segue de . A solução para fornece a solução desejada. $I$ $II$

(δ + r) V_{1 1} (W) = W + λ_{1 1} \int_{W}^{\bar{W}} [V_{1 1} (\tilde{x}) - V_{1 1} (W)] d F (\tilde{x}) + δ V_{0 0} .

$\begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation}$

(δ + r) V_{1 1}^{'} (W) = 1 1 - λ_{1 1} \int_{W}^{\bar{W}} V_{1 1}^{'} (W) d F (\tilde{x}) = 1 1 - λ_{1 1} V_{1 1}^{'} (W) [1 1 - F (W)],

$\begin{equation} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{equation}$

F (\bar{w}) = 1

$F(\overline{w})=1$

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$

— daniel_EDI
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