Quando o Controle Ideal falha (?)

Para "fazer minha pergunta", primeiro tenho que resolver um modelo. Omitirei algumas etapas, mas, ainda assim, isso inevitavelmente tornará esse post muito longo; portanto, esse também é um teste para ver se essa comunidade gosta desse tipo de pergunta.

Antes de começar, esclareço que isso pode parecer totalmente um modelo de crescimento neoclássico padrão em tempo contínuo, mas não é : está preocupado com um único indivíduo, que não "representa" mais ninguém na economia à sua volta, uma economia que não é modelado. A estrutura aqui é "aplicação do Controle Ótimo ao problema de maximização de um único indivíduo". Trata-se da estrutura da solução Optimal Control e do próprio método.

Resolvemos o problema de maximização da utilidade intertemporal de um pequeno empresário que possui o capital de sua empresa, enquanto ele compra serviços de trabalho em um mercado de trabalho perfeitamente competitivo e vende seu produto (rosquinhas frescas) em um mercado de produtos perfeitamente competitivo. Estabelecemos o modelo em tempo contínuo, sem incertezas (as condições socioeconômicas são constantes) e com horizonte infinito (o empresário visualiza muitas cópias futuras dele seguidas):

$$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$$

onde $c$ é o consumo do empresário, $\ln c$ é utilidade instantânea do consumo, $\rho>0$ é a taxa de preferência de tempo puro, $k$ é o capital da empresa, $\delta$ é a taxa de depreciação do capital $f(k,\ell)$ é a função de produção do negócio. O nível inicial de capital é dado, $k_0$ . A ocupação do próprio empresário com o negócio é incluída no capital. A função de produção é neoclássica padrão (retornos constantes de escala, produtos marginais positivos, segundos parciais negativos, condições de Inada). As restrições são a lei do movimento do capital e a condição Transversalidade usando o multiplicador de valor atual.

Configurando o valor atual Hamiltoniano

$$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$$

calculamos as condições de primeira ordem

$$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$$

$$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$$

$$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$$

e combinando-os obtemos a lei da evolução do consumo de nosso empresário,

$$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$$

A partir da regra ideal para demanda de trabalho (estático) e os retornos constantes da implicação de escala ( ) obtemos . Inserindo isso na lei do movimento do capital, obtemosf = f k k + f ℓ ℓ f - w ℓ = f k$\ell: f_{\ell} =w$$f = f_kk + f_{\ell}\ell$$f-w\ell = f_kk$

$$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$$

As equações e formam um sistema de equações diferenciais. Os valores de estado estacionário para o consumo e o capital do empresário são( 2 $(1)$$(2)$

$$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$$

$$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$$

... que é uma expressão bastante familiar.

$k^*$ às vezes é chamado de nível de capital "regra de ouro modificada". O jacobiano do sistema avaliado nos valores de estado estacionário tem um determinante negativo para qualquer valor dos parâmetros do modelo , que é uma condição necessária e suficiente para o sistema exibir estabilidade no caminho da sela.

O máximo do lócus está no ponto (às vezes chamado de nível de capital da "regra de ouro") ~ $\dot k =0$$\tilde k$

$$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$$

O valor é importante como referência: é o nível de capital em que e está no máximo (estado não ótimo ou estável ).˙ k =0$\tilde k$$\dot k =0$$c$

O loci cruza o eixo horizontal do diagrama de fases (que mede o capital) no nível de capital no estado estacionário .k$\dot c=0$$k^*$

Se , que requer devido a segundos parciais negativos, teremos "excesso de acumulação de capital" (muitos anéis de espuma): o empresário pode desfrutar de mais estabilidade. consumo estadual com menor nível de capital. Usando e temos f ∗ k < f k ( ˜ k ) ( 3 ) ( 4 $k^* > \tilde k$$f_k^* < f_k(\tilde k)$$(3)$$(4)$

$$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$$

$$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$$

A desigualdade é a condição para o nível subótimo de capital em estado estacionário. E o problema é que não podemos descartar isso . Simplesmente requer que o empresário seja "suficientemente paciente", com uma taxa suficientemente pequena de preferência de tempo puro, mas ainda positiva.$(5)$

Aqui começa o problema: a superacumulação de capital é efetivamente excluída no modelo de agente representativo. É possível na sobreposição de modelos de geração, mas como uma conseqüência não intencional no nível macroeconômico, um dos primeiros exemplos de que a macroeconomia pode ser micro-fundada e ainda se comportar de maneira diferente do micro-mundo.

Mas nosso modelo não se enquadra em nenhuma categoria: é um modelo de equilíbrio parcial de um único agente em um ambiente implicitamente heterogêneo - e o equilíbrio geral aqui não altera os resultados: essa pessoa representa apenas a si mesma. Portanto, o problema é que, se mantiver, a solução Optimal Control será obviamente subótima , porque aqui temos uma única pessoa, uma única vontade, uma única mente: olhando a solução, nosso empresário dirá: " ei, esse método é inútil, se eu seguir seus conselhos, acabarei com um nível de capital sub-idealmente alto ". $(5)$

E não estou satisfeito em dizer simplesmente "bem, o controle ótimo não é adequado para esse problema, tente outro método", porque não consigo entender por que devemos considerá-lo inadequado. Mas, se for adequado, o método deve sinalizar que algo está errado, em algum momento exigir que não seja válido, para poder oferecer uma solução (se isso acontecer não espera, tudo parece inchar).( 5 $(5)$$(5)$

Alguém poderia se perguntar "talvez a condição de Transversalidade seja violada se verdadeira?" -mas não parece que sim, pois , que passa para uma constante positiva, enquanto vai para zero, exigindo apenas que .λ ( t ) k ( t ) = k ( t ) / c ( t ) e - ρ t ρ > $(5)$$\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$$e^{-\rho t}$$\rho>0$

Minhas perguntas:

1) Alguém pode oferecer algumas dicas aqui?

2) Ficaria grato se alguém resolvesse isso usando a Programação Dinâmica e relatasse os resultados.

ADENDO
Do ponto de vista matemático, a diferença crucial desse modelo é que a lei de movimento otimizada do capital, eq. inclui não toda a produção como no modelo padrão, mas apenas os retornos ao capital . E isso acontece porque separamos os direitos de propriedade sobre a saída, que na estrutura do "problema individual de maximização de negócios", é de se esperar.f ( k ) f k$(2)$$f(k)$$f_kk$

Acredito que o problema é que o estado estacionário pode não existir, e o sistema exibe um crescimento constante (dependendo dos parâmetros).

O motivo é que o modelo é equivalente ao problema padrão de economia de consumo, com taxa de juros constante e exógena. Para ver de que, em primeiro lugar considerar a condição de primeira ordem para a escolha de trabalho (aqui, é derivada parcial de wrt. th argumento). Usando a definição de retornos constantes, o produto marginal do trabalho é que é uma função apenas da razão capital-trabalho. Se o salário é constante, o FOC do trabalho determina de maneira única a idealf i f i $f_2(k,\ell) = w$$f_i$$f$$i$K/ℓw

$$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$$ $k/\ell$relação em função do salário outros parâmetros. Como produto marginal do capital também depende de , será constante ao longo do caminho ideal. Indique esse valor do produto marginal e denote o retorno líquido da depreciação . As equações (1) - (2) para dinâmica de capital e consumo são então e a solução específica que satisfaz a condição de transversalidade deve ser$w$k/ℓr∗r=r∗-δ ˙ c $$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$$ $k/\ell$$r^*$$r = r^* - \delta$ ct=ρ $$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$$ k 0 ( r - ρ ) $c_t = \rho k_t$com dado, ou seja, uma parte constante da riqueza é consumida a cada momento. Tanto o capital quanto o consumo crescem à taxa , de modo que não há estado estacionário, a menos que o retorno sobre o capital (que aqui depende da taxa salarial exógena ) seja igual à preferência da taxa de tempo.$k_0$$(r-\rho)$$w$

Estou postando isso como uma resposta, porque continua na resposta do usuário @ivansml ... que é a que identificou a captura aqui, uma captura que eu ingenuamente esqueci (embora seja um caso estreito, enquanto o par interessante vem depois). No entanto, deveria ter sido tratado).

De fato, com taxa salarial exógena e otimização perfeitamente competitiva da demanda de trabalho, o produto marginal do capital é determinado apenas pelos parâmetros do modelo e pela taxa salarial. No caso simples em que assumimos que a taxa salarial é constante, a análise da @ivansml é válida: o modelo se torna um crescimento endógeno : o produto marginal do capital é constante, o que é necessário para o crescimento endógeno, onde não há estado em níveis .

Denotando e , equações e da OP pode ser escrito k = ˙ k /k(1)(2$\hat c = \dot c/c$$\hat k = \dot k /k$$(1)$$(2)$

k =fk-δ-c/

$$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$$ $$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$$

Como é constante, a taxa de crescimento do consumo é constante - zero, positivo ou negativo, dependendo dos parâmetros e do salário. Por outro lado, diferenciar em relação ao tempo que obtemos ( 2 b $f_k$$(2b)$

$$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$$

e é óbvio que, para o crescimento em estado estacionário, queremos , o qual, de é obtido apenas se . É fácil verificar que, uma vez que , a única maneira de manter a condição de transversalidade é se o consumo e o capital crescem, ou diminuem, na mesma proporção (ou permanecem constantes). (2b)c=ρkλ(t)=C(t$\hat k = \hat c$$(2b)$$c = \rho k$$\lambda(t) = c(t)$

Nos modelos de crescimento endógeno propriamente ditos, onde examinamos toda a economia, apenas assumimos que os parâmetros do modelo são tais que há uma taxa de crescimento positiva, porque é isso que observamos no mundo real. Mas aqui, temos apenas um indivíduo. Então, o que podemos estar dizendo ao nosso empresário?

Se , a taxa de crescimento é positiva e seu consumo e capital devem crescer "para sempre", mantendo uma proporção constante. Se , a taxa de crescimento é zero e ambas as variáveis ​​permanecem constantes. Se , a taxa de crescimento é negativa, e devemos entrar em uma espiral descendente de consumo e capital decrescentes (sempre mantendo a relação ).f k - δ - ρ = 0 f k - δ - ρ < 0 c = ρ $f_k-\delta -\rho >0$
$f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$$c= \rho k$

Este, tem alguma intuição, validando a adequação de aplicação Controlo Óptimo: dados os outros parâmetros e a taxa de salário, quanto maior a "impaciência" (o maior é) o mais possível se torna que o indivíduo vai experimentar diminuindo os níveis de consumo, uma vez que o futuro e, portanto, o investimento, não são muito do seu agrado. Certamente, uma espiral descendente monotônica pode não parecer muito realista como solução - mas esse é um modelo muito estilizado, fornecendo tendências essencialmente gerais em uma linguagem matemática necessariamente altamente formal. $\rho$

A parte realmente interessante começará se considerarmos um salário variável . Isso pode criar todo tipo de dinâmica interessante e complicada para nosso pequeno empresário e suas decisões de investimento em consumo.

Penso que a questão principal é se essa empresa é a única empresa na economia. Se estiver, não será mais correto tomar , dado que será afetado por sua própria decisão de acumulação de capital. Nesse caso, você deve fazer as substituições feitas antes da sua equação (2) ao configurar o Hamiltoniano. Por outro lado, se essa é uma das muitas empresas, de modo que a taxa salarial é exógena, as substituições antes da eq. (2) não são válidos. Acho que você precisa para distinguir cuidadosamente entre grande- , a capital agregada na economia, e pouco- a capital escolhida por este tomador de decisão.w k $w$$w$$k$$k$