Monopólios são apenas um equívoco matemático

Um pouco de cabeça-scratcher (e um bom exemplo por que devemos ter cuidado com a notação).

Considere um monopólio maximizador de lucro, que resolve o preço

$$ \ max \ pi = PQ (P) - C (Q (P)) \ tag {1} $$

Seguindo as etapas de rotina ( veja este post )

chegamos ao importante resultado de que, no preço de maximização do lucro, a elasticidade-preço da demanda deve ser maior que $ 1 em termos absolutos, ou menor que $ -1 em termos algébricos. Ou seja, o preço que maximiza o lucro que temos

$$ \ eta ^ * = \ frac {\ Q parcial} {\ P parcial} \ cdot \ frac {P} {Q} & lt; -1 \ Rightarrow \ frac {\ Q parcial} {\ P parcial} P & lt; -Q $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ partial Q} {\ partial P} P + Q & lt; 0 \ tag {2} $$

Mas $ \ frac {\ Q parcial} {\ partial P} P + Q $ é a derivada de $ PQ (P) $ e $ PQ (P) = TR $, Receita Total. Então $ \ frac {\ Q parcial} {\ P parcial} P + Q = MR $, Receita Marginal e acabamos de obter isso no preço maximizador de lucro e para termos elasticidade maior que $ 1 $ em termos absolutos, devemos ter $ MR ^ * & lt; 0 $.

Mas também agora que, no ponto de maximização do lucro, temos $ MR ^ * = MC ^ * & gt; 0 $.

Portanto, uma solução não existe e, portanto, concluímos que os monopólios são apenas um equívoco matemático.

Agora, eu me meti em confusão (?) Para escrever este post sorridente, espero que alguém entre nas poucas dezenas de segundos necessários para escrever uma resposta clara para apontar onde está o truque.

$ PQ (P) = TR $, Receita Total.

$ \ frac {∂Q} {∂P} P + Q $ é a derivada de $ PQ (P) $ em relação a $ P $ .

$ MR $, Receita Marginal, é o derivado de $ TR $ com relação a $ Q $ .

Então, em geral $ \ frac {∂Q} {∂P} P + Q \ neq MR $

Para complementar a resposta @AdamBailey ao ponto, o objetivo deste post foi alertar os leitores interessados ​​sobre as consequências da mudança de variáveis ​​de decisão em nosso pensamento.

Estamos acostumados a pensar em demanda como "preço dependendo da quantidade" ou "quantidade dependendo do preço". Mas do lado do custo de produção, tendemos automaticamente a pensar no custo dependendo da quantidade, não no preço de venda.

Portanto, ser um pouco tediosamente explícito com a notação vale a pena (pergunte ao pessoal sobre a otimização dinâmica, por ex. Livro de Caputo ). No exemplo específico, os símbolos $ TR $, $ MR $, $ MC $, não revelam a variável de decisão, e é aí que o truque foi baseado. Mas se, nós escrevemos

$$ \ max \ pi = TR [Q (P)] - C [Q (P)] $$

nós sinalizamos claramente que a nossa variável de decisão final é o preço, e assim

$$ f.o.c: \; \; \; MR (Q) \ cdot \ frac {\ Q parcial} {\ partial P} - MC (Q) \ frac {\ Q parcial} {\ partial P} = 0 $$

$$ \ implica (MR (Q) - MC (Q)) \ cdot \ frac {\ Q parcial} {\ P parcial} = 0 \ implica MR (Q) = MC (Q) $$

enquanto também nós veríamos claramente que

$$ \ frac {\ TR parcial} {\ partial P} = MR (Q) \ cdot \ frac {\ Q parcial} {\ partial P} = \ frac {\ Q parcial} {\ partial P} Q + Q $ $

e para que a exigência da elasticidade-preço da demanda leve a

$$ \ frac {\ TR parcial} {\ P parcial} = MR (P) = Q \ frac {\ Q parcial} {\ P parcial} Q + Q & lt; 0 \ implica MR (Q) \ cdot \ frac {\ Q parcial} {\ partial P} & lt; 0 \ implica MR (Q) & gt; 0 $$

(desde $ \ frac {\ parcial Q} {\ partial P} & lt; 0 $). Então, no ponto ideal, a receita marginal em relação à quantidade deve ser positivo, mas receita marginal em relação ao preço deve ser negativo.