Problema com o piloto livre na teoria dos jogos

Suponha que uma cidade é a construção de uma ponte, e custa $B$ . Existem $n$ moradores.

A avaliação de cada vila da ponte é uma informação privada, $v_i$ .

É do conhecimento geral que essa avaliação é extraída de uma distribuição uniforme $[0,1]$ . $B\in[0,1]$ .

Aldeão só pode enviar $0$ ou $B$ .

Se um morador enviar $B$ , a ponte será construída e todos os outros moradores pagarão sua inscrição.

Se nenhuma ponte for construída, todos receberão $0$ .

Como faço para construir uma compensação esperada uma aldeia $i$ ?

O que eu tenho para baixo é ter 2 cenários: $v_i>B$ e $v_i\leq B$ .

Mas, em cada caso, tenho duas recompensas possíveis. Para o primeiro caso,

se todos os outros jogadores submete $0$ , $i$ devem submeter B, porque $v_i-B>0$ .
se alguém paga $B$ , $i$ deve enviar 0, porque ela fica $v_i$ .

Você obtém um tipo semelhante para o outro cenário.

Mas como eu incorporaria isso nas recompensas esperadas de $i$ e como devo construir uma função de bem-estar social?

Eu sinto que isso é apenas uma variação do leilão com todos os pagamentos, com espaço de ação discreto para cada $i$ .

Vamos ser i estratégia 's. Então o retorno de i depende do perfil da estratégia ( b i , b - i ) , onde b - i = ( b j ) j ≠ i .$b_i\in\{0,B\}$$i$$i$$(b_i,b_{-i})$$b_{-i}=(b_j)_{j\ne i}$

$$\begin{equation} u_i(b_i,b_{-i})= \begin{cases} v_i&\text{if $b_i=0$ and $b_j=B$ for some $j\ne i$}\\ 0& \text{if $b_i=0$ and $b_j=0$ for all $j\ne i$}\\ v_i-B&\text{if $b_i=B$} \end{cases} \end{equation}$$

Assim, é a melhor resposta se u i ( B , b - i ) ≥ u i ( 0 , b - i$b_i=B$

$$\begin{equation} u_i(B,b_{-i})\ge u_i(0,b_{-i}) \quad\Leftrightarrow\quad v_i-B\ge (1-\Pr(b_j=0,\;\forall j\ne i))v_i.\tag{1} \end{equation}$$

Desde que o jogo é ex ante simétrica, poderíamos ainda supor que cada adota uma estratégia limiar, ou seja, b i = { 0 se  v i ≤ ¯ v B se  v i > ¯ v onde ¯ v algum valor limiar comum. Então, a probabilidade em ( 1 ) pode ser escrita como Pr ( b j = 0 $i$

$$\begin{equation} b_i=\begin{cases} 0&\text{if $v_i\le\overline v$}\\ B&\text{if $v_i>\overline v$} \end{cases}\tag{2} \end{equation}$$ $\overline v$$(1)$ onde a última igualdade é obtido a partir da suposição de quevj's são iid evj~L[0,1]. $$\begin{equation} \Pr(b_j=0,\;\forall j\ne i)=\Pr(v_j\le \overline v,\;\forall j\ne i)=(\overline v)^{n-1},\tag{3} \end{equation}$$ $v_j$$v_j\sim U[0,1]$

Consolidando a ( 3 ) , podemos resolver o valor de corte ¯ v = B 1 / n .$(1)$$(3)$$\overline v=B^{1/n}$