Quais dos axiomas de Anscombe-Aumann implicam o princípio Certo?

Considere um cenário de Anscombe-Aumann e assuma que uma relação de preferência satisfaz todos os axiomas originais de Anscombe-Aumann (racionalidade, continuidade, independência e monotonicidade).

Se restringirmos a atenção a corridas de cavalos puras (ou seja, agir sem qualquer incerteza objetiva), o modelo Anscombe-Aumann se resume a uma representação da Utilidade Esperada Subjetiva à la Savage. Portanto, em corridas de cavalos puras, o tomador de decisão satisfaz todos os axiomas de Savage, notadamente o Princípio da Coisa Certa (P2 na terminologia de Savage).

Não vejo a conexão direta entre os axiomas de Anscombe-Aumann e o Princípio da Coisa Certa. Alguém vê como o princípio da certeza está implícito nos axiomas de Anscombe-Aumann? Em particular, resulta apenas da independência ou são necessárias independência e monotonicidade?

decision-theory

— Oliv
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Como uma primeira observação: os axiomas de Anscombe-Aumann, em particular a Independência, são definidos sobre atos que levam o espaço de estado a um espaço linear (geralmente loterias simples sobre objetos de consumo). Mesmo quando consideramos a restrição do modelo como atos puramente subjetivamente incertos, ainda precisamos empregar o modelo completo ou perderemos informações.

Dito isto: deixe ser um espaço de estados finito e um conjunto finito de alternativas. Deixe denotam todas as lotarias mais de e é um ato. Para um evento , seja o ato definido por $S$ $X$ $\Delta(X)$ $X$ $f: S \to \Delta(X)$ $E \subseteq S$ $f_{-E}g$

f_{- E} g {\begin{cases} f (s) if x \in E \\ g (s) if x \notin E . \end{cases}

$f_{-E}g \begin{cases} f(s) \text{ if } x \in E \\ g(s) \text{ if } x \notin E. \end{cases}$

Agora, podemos dizer que nossos satisfaz modelo o princípio coisa certa , se e , em seguida, Essa definição é válida para todos os atos, não apenas aqueles sem risco objetivo, mas claramente você pode considerar apenas a projeção relevante. $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$ $f \succsim g.$

Suponha o antecedente do STP. De e independência, temos que $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ Observe que podemos reescrever isso como

\frac{1}{2} f_{- E} h + \frac{1}{2} f_{- E^{c}} h ≿ \frac{1}{2} g_{- E} h + \frac{1}{2} f_{- E^{c}} h .

$\frac12 f_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h \succsim \frac12 g_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h.$

e, aplicando a independência novamente, obtemos

\frac{1}{2} f + \frac{1}{2} h ≿ \frac{1}{2} g_{- E} f + \frac{1}{2} h

$\frac12 f + \frac12 h \succsim \frac12 g_{-E}f + \frac12h$

\begin{matrix} (1) & f ≿ g_{- E} f . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{1} f \succsim g_{-E}f. \end{equation}$

De forma análoga, de e independência, temos que $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$ Novamente, podemos reescrever como

\frac{1}{2} f_{- E^{c}} h + \frac{1}{2} g_{- E} h ≿ \frac{1}{2} g_{- E^{c}} h + \frac{1}{2} g_{- E} h .

$\frac12 f_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h \succsim \frac12 g_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h.$

, aplicando a independência novamente, obtemos

\frac{1 1}{2} g_{- E} f + \frac{1 1}{2} h ≿ \frac{1 1}{2} g + \frac{1 1}{2} h

$\frac12 g_{-E}f + \frac12 h \succsim \frac12 g + \frac12h$

\begin{matrix} 2) & g_{- E} f ≿ g . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{2} g_{-E}f \succsim g. \end{equation}$

Combinar (1) e (2) via transitividade produz as relações desejadas. Voltando à observação do prefácio, observe que, para aplicar a independência, precisamos misturar atos, apelando ao risco objetivo. Assim, mesmo quando , , não têm risco objetivo, ainda precisamos de atos arriscados para servir como intermediário na prova. Em certo sentido, esta é a grande visão de toda a estrutura de AA - usando o risco objetivo para contornar a necessidade de um espaço de estados infinito, usando a linearidade das expectativas para forçar o STP. $f$ $g$ $h$

Observe que apenas independência e transitividade foram usadas. Isso deve indicar que mesmo a UE dependente do estado (onde a monotonicidade / independência do estado falha) ou a UE de Bewley (onde a integridade é relaxada) ainda satisfarão o STP.

Editar em resposta a um comentário: Vamos chamar a noção acima do Princípio da Coisa Certa STP1 e dizer que a preferência satisfaz a STP2 se para todos os $f_{-E}h \succsim g_{-E}h \iff f_{-E}h' \succsim g_{-E}h'$ $f,g,h,h'$ $\succsim$ é uma pré-encomenda, satisfaz STP1 se e somente se satisfaz STP2.

$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

f = f_{- E} f ≿ g_{- E} f e g_{- E} f = f_{- E^{c}} g ≿ g .

$f = f_{-E}f \succsim g_{-E}f \qquad \text{ and } \qquad g_{-E}f = f_{-E^c}g \succsim g.$

f ≿ g

$f \succsim g$

$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ $\hat f = f_{-E}h'$ $\hat g$

{\hat{f}}_{- E} h = f_{- E} h and {\hat{g}}_{- E} h = g_{- E} h,

$\hat f_{-E}h = f_{-E}h \qquad \text{ and } \qquad \hat g_{-E}h = g_{-E}h,$

\begin{matrix} (3) & {\hat{f}}_{- E} h ≿ {\hat{g}}_{- E} h . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{3} \hat f_{-E}h \succsim \hat g_{-E}h. \end{equation}$

{\hat{f}}_{- E^{c}} h = {\hat{g}}_{- E^{c}} h = h_{- E}^{'} h

$\hat f_{-E^c}h = \hat g_{-E^c}h = h'_{-E}h$

\begin{matrix} (4) & {\hat{f}}_{- E^{c}} h ≿ {\hat{g}}_{- E^{c}} h . \end{matrix}

$\begin{equation} \tag{4} \hat f_{-E^c}h \succsim \hat g_{-E^c}h. \end{equation}$

\hat{f} ≿ \hat{g}

$\hat f \succsim \hat g$

— 201p
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(+1) Uma pergunta: foi demonstrado que o STP exige que os atos não afetem as probabilidades sobre os eventos, caso contrário, isso pode não acontecer. Isso é coberto / garantido pela estrutura AA?

— Alecos Papadopoulos

f_{E} h ⪰ g_{E} h \Leftrightarrow f_{E} h^{'} ⪰ g_{E} h^{'}

$f_{E}h \succeq g_{E}h \Leftrightarrow f_{E}h' \succeq g_{E}h'$

@AlecosPapadopoulos não é o axioma P4 (em vez de P2) que exige que as probabilidades sejam independentes de atos? Caso contrário, você tem uma referência para sua reivindicação?

— Oliv

@ Oliv Claro, verifique ftp.cs.ucla.edu/pub/stat_ser/r466.pdf e a literatura.

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos, muito obrigado, isso é muito útil.

— Oliv