Quais dos axiomas de Anscombe-Aumann implicam o princípio Certo?


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Considere um cenário de Anscombe-Aumann e assuma que uma relação de preferência satisfaz todos os axiomas originais de Anscombe-Aumann (racionalidade, continuidade, independência e monotonicidade).

Se restringirmos a atenção a corridas de cavalos puras (ou seja, agir sem qualquer incerteza objetiva), o modelo Anscombe-Aumann se resume a uma representação da Utilidade Esperada Subjetiva à la Savage. Portanto, em corridas de cavalos puras, o tomador de decisão satisfaz todos os axiomas de Savage, notadamente o Princípio da Coisa Certa (P2 na terminologia de Savage).

Não vejo a conexão direta entre os axiomas de Anscombe-Aumann e o Princípio da Coisa Certa. Alguém vê como o princípio da certeza está implícito nos axiomas de Anscombe-Aumann? Em particular, resulta apenas da independência ou são necessárias independência e monotonicidade?

Respostas:


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Como uma primeira observação: os axiomas de Anscombe-Aumann, em particular a Independência, são definidos sobre atos que levam o espaço de estado a um espaço linear (geralmente loterias simples sobre objetos de consumo). Mesmo quando consideramos a restrição do modelo como atos puramente subjetivamente incertos, ainda precisamos empregar o modelo completo ou perderemos informações.

Dito isto: deixe ser um espaço de estados finito e X um conjunto finito de alternativas. Deixe Δ ( X ) denotam todas as lotarias mais de X e f : S Δ ( X ) é um ato. Para um evento E S , seja f - E g o ato definido por f - E g { f ( s )  se  x E g ( s )  se SXΔ(X)Xf:SΔ(X)ESfEg

fEg{f(s) if xEg(s) if xE.

Agora, podemos dizer que nossos satisfaz modelo o princípio coisa certa , se e f - E c h g - E c h , em seguida, f g . Essa definição é válida para todos os atos, não apenas aqueles sem risco objetivo, mas claramente você pode considerar apenas a projeção relevante.fEhgEhfEchgEchfg.

Suponha o antecedente do STP. De e independência, temos que 1fEhgEh Observe que podemos reescrever isso como 1

12fEh+12fEch12gEh+12fEch.
e, aplicando a independência novamente, obtemos
12f+12h12gEf+12h
(1)fgEf.

De forma análoga, de e independência, temos que 1fEchgEch Novamente, podemos reescrever como 1

12fEch+12gEh12gEch+12gEh.
, aplicando a independência novamente, obtemos g - E f g .
1 12g-Ef+1 12h1 12g+1 12h
2)g-Efg.

Combinar (1) e (2) via transitividade produz as relações desejadas. Voltando à observação do prefácio, observe que, para aplicar a independência, precisamos misturar atos, apelando ao risco objetivo. Assim, mesmo quando , g , eh não têm risco objetivo, ainda precisamos de atos arriscados para servir como intermediário na prova. Em certo sentido, esta é a grande visão de toda a estrutura de AA - usando o risco objetivo para contornar a necessidade de um espaço de estados infinito, usando a linearidade das expectativas para forçar o STP.fgh

Observe que apenas independência e transitividade foram usadas. Isso deve indicar que mesmo a UE dependente do estado (onde a monotonicidade / independência do estado falha) ou a UE de Bewley (onde a integridade é relaxada) ainda satisfarão o STP.


Editar em resposta a um comentário: Vamos chamar a noção acima do Princípio da Coisa Certa STP1 e dizer que a preferência satisfaz a STP2 se para todos os f , g , hf-Ehg-Ehf-Ehg-Ehf,g,h,h é uma pré-encomenda, satisfaz STP1 se e somente se satisfaz STP2.

f-Ehg-Ehf-Echg-Ech

f=f-Efg-Ef e g-Ef=f-Ecgg.
fg

fEhgEhf^=fEhg^

f^Eh=fEh and g^Eh=gEh,
(3)f^Ehg^Eh.
f^Ech=g^Ech=hEh
(4)f^Echg^Ech.
f^g^

(+1) Uma pergunta: foi demonstrado que o STP exige que os atos não afetem as probabilidades sobre os eventos, caso contrário, isso pode não acontecer. Isso é coberto / garantido pela estrutura AA?
Alecos Papadopoulos

fEhgEhfEhgEh

@AlecosPapadopoulos não é o axioma P4 (em vez de P2) que exige que as probabilidades sejam independentes de atos? Caso contrário, você tem uma referência para sua reivindicação?
Oliv

@ Oliv Claro, verifique ftp.cs.ucla.edu/pub/stat_ser/r466.pdf e a literatura.
Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos, muito obrigado, isso é muito útil.
Oliv
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