Definição adequada de extenso jogo de forma

Considere o seguinte jogo: Deixe $ N: = \ {1,2,3,4 \} $ denotar um conjunto de agentes. Indo de 1 a 4, cada agente pode decidir quantos agentes remanescentes ele quer integrar em uma coalizão. Os conjuntos de estratégias são dados por $ S_1: = \ {1,2,3,4 \} $, $ S_2: = \ {1,2,3 \} $, $ S_3: = \ {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2) \} $ e $ S_4: = \ {(1,1,1) \} $. Eu quero generalizar o jogo para $ | N | = n $. Então, basicamente, o agente 1 escolhe um número $ s_1 \ em N $. Então o agente $ 1 + s_1 $ escolhe um número $ s_ {1 + s_1} \ in \ {1, \ ldots, n-s_1 \} $ e assim por diante. Eventualmente, existe um agente que integra todos os agentes restantes $ \ exists j \ em N: s_j = 1 + n-j $.

• Qual é a definição correta deste jogo simples? Quais são os conjuntos de estratégias?

Deixe o conjunto de jogadores ser $ N = \ {1, \ dots, n \} $.

De acordo com minha compreensão da sua descrição do jogo, considero as seguintes afirmações como verdadeiras:

• Cada jogador escolhe um número de jogadores para integrar, não jogadores com identidades específicas. Como resultado, o jogador que faz a escolha pode ou não ser incluído na coalizão.
• Cada jogador tem que escolher pelo menos 1 jogador, se ainda estiver disponível.
• Cada jogador se move exatamente uma vez.
• O jogo é com informação perfeita.

Sob a interpretação acima, o espaço de ação do jogador $ i $ ($ i \ ge2 $) seria $ A_i = \ {0,1, \ dots, n + 1-i \} $, como, em princípio, $ i $ pode escolher no máximo $ n + 1-i $ outros jogadores (quando todos os jogadores $ j & lt; i $ escolherem $ 1 $) e pelo menos $ 0 $ (quando todos os jogadores anteriores esgotarem a lista de jogadores). Uma exceção se aplica ao primeiro jogador, onde a opção $ 0 $ não é viável. Assim $ A_1 = \ {1, \ dots, n \} $.

O espaço de estratégia do jogador 1 seria $ S_1 = \ {1, \ dots, n \} $. O jogador 2 seria $ S_2 = \ {1, \ dots, n-s_1 \} $, já que após $ s_1 $ jogadores são escolhidos pelo jogador 1, restam apenas $ n-s_1 $ jogadores para serem escolhidos pelo jogador 2. Levando este argumento adiante, o espaço estratégico do jogador $ i $ seria $ S_i = \ {1, \ dots, n-s_1- \ cdots-s_ {i-1} \} $.

Generalizando a partir do raciocínio acima e levando em conta os casos de fronteira, deixe a história no estágio $ i $ ser $ h ^ i = (s_0, s_1, \ pontos, s_ {i-1}) $, onde definimos $ s_0 = 0 $ . (Em geral, porém, os estágios devem ser indexados por um parâmetro diferente do índice do jogador. Mas no seu jogo, como cada jogador se move exatamente uma vez, podemos usar o mesmo índice para estágios e jogadores para economizar a notação.) espaço de estratégia dependente para o jogador $ i $ seria assim \ begin {equação} S_i (h ^ i) = \ begin {casos} \ {1, \ dots, n- \ sum_ {j = 0} ^ {i-1} s_j \} & amp; \ text {if} n- \ sum_ {j = 0} ^ {i-1} s_j \ ge 1 \\ \ {0 \} & amp; \ text {caso contrário}. \ end {casos} \ end {equação}

Eu estava cuidadosamente relendo o papel subjacente (Bloch, 1996) e encontrei o que estava procurando. Seja $ N = \ {1, \ ldots, n \} $ denote o conjunto de agentes e deixe $ \ Pi _ {\ {1, \ ldots, i-1 \}} $ denotar o conjunto de estruturas de coalizão de $ \ { 1, \ ldots, i-1 \} $ para todo $ i \ in \ {2, \ ldots, n \} $. Uma estratégia no jogo de tamanho de coalizão é um mapeamento $ s_i: \ Pi _ {\ {1, \ ldots, i-1 \}} \ para \ {1, \ ldots, n- (i-1) \} $ para all $ i \ in \ {2, \ ldots, n \} $. Mais $ s_1 \ em N $.

Exemplo com $ n = 4 $. Com algum abuso de notação (salvando chaves), obtemos \ begin {align} & amp; s_1 \ in \ {1,2,3,4 \} \\ & amp; s_2: \ {1 \} \ para \ {1,2,3 \} \\ & s_3: \ {\ {1,2 \}, \ {12 \} \} \ para \ {1,2 \} \\ & s_4: \ {\ {1,2,3 \}, \ {12,3 \}, \ {1,23 \}, \ {123 \} \} \ a \ {1 \} \ end {align}

Bloch (1996): "Formação Sequencial de Coalizões em Jogos com Externalidades e Divisão de Pagamento Fixo", GEB