Dificuldade em um problema de otimização econômica usando condições de Kuhn-Tucker (dificuldade de interpretação)

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Estou tendo problemas para resolver corretamente o seguinte problema:

Uma empresa deseja minimizar seus custos totais, com a condição de que a receita obtida com a venda das quantidades $x_1, x_2$ dos dois produtos produzidos exceda um certo limite mínimo. Sabendo que os custos unitários de fabricação de cada bem são funções lineares dos produtos produzidos na forma $C_1 = x_1, C_2 = 2x_2$ , que tudo o que é produzido é vendido e que os preços de venda dos produtos são: $p_1 = 1$ e $p_2 = 3$ , respectivamente. Determinar as quantidades $x_1, x_2$ que minimizam o custo do processo.

Solução:

$x_1 = 6/11$

$x_2 = 9/11$

$\lambda = -12/11$

$TotalCost(x_1,x_2) = 18/11$

Tentei resolvê-lo da maneira comum: usando a função Lagrange com condições de Kuhn-Tucker. No entanto, não consigo encontrar a solução correta, apesar de ter tentado várias vezes. Eu acho que não estou construindo corretamente a função Lagrange como consequência de não entender adequadamente o significado econômico do que o problema quer que eu resolva.

Então, eu ficaria muito feliz se você pudesse me ajudar a entender como alcançar a solução correta para esse problema específico , sabendo que esclarecer como criar a função Lagrange e suas restrições é provavelmente o que é necessário aqui para entender completamente o problema e sua solução .

optimization

— Ignacio Valdés Zamudio
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Desde quando os multiplicadores Kuhn-Tucker são negativos? Onde você conseguiu esse exercício?

— Alecos Papadopoulos

Além disso, com "receita" significa "lucro" (receitas menos custos)?

— Alecos Papadopoulos

Eu sempre trabalhei com lambda negativo e no restante dos casos funcionou corretamente. E de acordo com o manual, diz "receita" (portanto, receita) e não "lucro". De qualquer forma, o que eu gostaria de receber de você, se possível, é a interpretação correta do problema, para poder construir corretamente a função Lagrange. Obrigado.

— Ignacio Valdés Zamudio

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$k$

$min(f) = - max(-f)$
Formule o lagrangiano.
Obtenha as derivadas parciais do lagrangiano.
$x_1$ $x_2$
$x_1=2x_2 / 3$
$x_1$ $x_2$
$x_1$ $x_2$
$x_1$ $x_2$

$k=3$ $TotalCost=18/11$ $x_1=6/11$ $x_2=9/11$

$12/11$ $2x_1=λ$

— Iñaki Viggers
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Obrigado por sua explicação detalhada e clara, Iñaki. Eu segui tudo, exceto por que você escolheu x_1 quadrado e 2x_2 quadrado no início, em vez de x_1 e 2x_2 (sem quadrado) como parece, pois C1 = x_1 e C2 = 2x_2. Agradecemos se você puder esclarecer o motivo de sua decisão.

— Ignacio Valdés Zamudio

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@ IgnacioValdésZamudio A função a otimizar é , e o problema indica que e . Substituir e na função fornece os termos quadráticos.

C_{1} x_{1} + 2 C_{2} x_{2}

$C_1 x_1 + 2 C_2 x_2$

C_{1} = x_{1}

$C_1 = x_1$

C_{2} = x_{2}

$C_2 = x_2$

C_{1}

$C_1$

C_{2}

$C_2$

— Iñaki Viggers

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Está certo. Finalmente, tudo fez sentido. Muito obrigado pelo seu tempo e explicações.

— Ignacio Valdés Zamudio

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O OP esclareceu em um comentário que a) "renda" aqui significa "receita" e não "lucro" (nem sempre é o caso) eb) que os multiplicadores de Karush-Kuhn-Tucker funcionam bem se os definirmos como não positivo em vez de não negativo (eles fazem, mas não é um fato amplamente conhecido).

A outra terminologia ruim na declaração do problema é o "custo unitário" um - realmente significa "custo marginal". Portanto, temos que obter a função Custo Total a partir de suas derivadas parciais. Isso é fácil, pois vemos que a parcial cruzada é zero.

Então se

\frac{\partial T C}{\partial x_{1}} = x_{1}, \frac{\partial T C}{\partial x_{2}} = 2 x_{2}

$\frac {\partial TC}{\partial x_1} = x_1,\;\; \frac {\partial TC}{\partial x_2} = 2x_2$

segue que

T C = \frac{1}{2} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + F C, F C \geq 0

$TC = \frac 12 x_1^2 + x_2^2 + FC,\;\;\;FC\geq 0$

e queremos minimizá-lo sujeito a restrição de . $p_1x_1 + p_2x_2 \geq \bar R$

PS: Parece que o piso da receita é ? $3$

— Alecos Papadopoulos
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Obrigado pelo esclarecimento. E sim, a terminologia usada neste problema não é a melhor. Mas tenho duas perguntas aqui: a que corresponde o FC? e Por que você acha que o piso da receita deve ser 3?

— Ignacio Valdés Zamudio

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@ IgnacioValdésZamudio "FC" é um custo fixo. não depende de . Existe para a integridade e a correção matemáticas, mas não afeta a solução. Quanto ao piso da receita ser , por um cálculo rápido, ele parece ser consistente com a solução numérica específica que você deve encontrar.

x_{1}, x_{2}

$x_1,x_2$

3

$3$

— Alecos Papadopoulos

Ah, sim, entendi. Obrigado pelos dois esclarecimentos.

— Ignacio Valdés Zamudio