Localizando Economias em um Modelo de Gerações Sobrepostas

Não vi essa pergunta em nenhum lugar, por isso estou colocando-a aqui caso alguém (espero) possa me ajudar a chegar à resposta. Em poucas palavras, minha pergunta é: como chegamos à função de salvamento em um OLG canônico com o utilitário Cobb-Douglas?

Explicarei minha pergunta com mais detalhes: no modelo OLG original de Diamond, ele descreve a poupança em função do salário e da taxa de juros, de modo que:

$$s_t=s_t(w_t,r_{t+1}).$$

Mais especificamente, quando o utilitário é Cobb-Douglas:

$$U = (1-\beta) \cdot ln (C_{1,t}) + \beta \cdot ln(C_{2,t+1})$$

Diamante conclui que a taxa de poupança é uma proporção fixa da taxa de salários, de tal modo que: A mesma conclusão pode ser encontrada na maioria das referências on-line que cobrem a OLG canónica (por exemplo, aqui ).

$$s_t= \beta \cdot w_t$$

No entanto, não consegui encontrar uma explicação de como alguém chega a essa equação para salvar . A maioria das referências disponíveis on-line, como a que acabei de vincular, simplesmente apresenta uma fórmula sem explicação sobre sua derivação. Enquanto isso, em seu artigo original , Diamond parece chegar a essa conclusão (na página 1134) sem explicação passo a passo de como ele chegou a esse resultado no caso Cobb-Douglas.

Alguém pode me ajudar a entender como esse resultado ocorre?

$C_{1,t} = w_t -s_t + A$