Prove que $ u $ é uma função de utilidade para $ \ succsim $

Se X é finito, defina esta função $ u: X \ rightarrow \ mathbb {R} $ por $ u (x) = | \ {z \ em X: z \ prec x \} | $ . Prove que $ u $ é uma função de utilidade para $ \ succsim $ .

É suficiente provar que a relação é transitiva e completa?
De lema: E se $ \ succsim $ tem uma função de utilidade, então é transitivo e completo.

— Zhang_anlan
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Você recebe uma função de utilidade muito específica e é solicitado a provar que essa função específica representa a preferência em relação a um conjunto de opções finito. Em outras palavras, você é solicitado a provar $ u (x) \ geu (y) \; \ Leftrightarrow \; x \ succsim y $ para todo $ x, y \ em X $, onde $ u $ é como definido na questão.

— Herr K.

ok obrigada. Eu ainda fico confuso sobre como provar coisas assim.

— Zhang_anlan

Você é solicitado a provar que $ u (x) \ ge \ (y) \; \ Leftrightarrow \; x \ succsim y $ para qualquer $ x, y \ in X $ , Onde $ u (x) = | \ {z \ em X: z \ prec x \} | $ , ou seja, a utilidade de $ x $ é medido pelo número de outras alternativas que se classificam estritamente abaixo dele. Desde a $ X $ é finito, vamos supor sem perda de generalidade que $ X = \ {1,2, \ dots, N \} $ Onde $ N $ é um número finito.

Eu vou provar o caso em que não há indiferença entre as alternativas, digamos, $ 1 \ succ2 \ succ \ cdots \ succ N $ . Eu vou deixar você terminar a prova, estabelecendo o caso em que há diferenças entre subconjuntos de alternativas.

Passo 1. Estabelecendo $ u (x) & gt; u (y) \; \ Rightarrow \; x \ succ y $ .

Supor $ u (x) & gt; u (y) $ . Pela definição de $ u $ , o número de alternativas estritamente pior do que $ x $ é maior do que o número de alternativas estritamente pior do que $ y $ . E se $ y \ succsim x $ isso simplesmente contradiz a afirmação anterior. Portanto, devemos ter $ x \ succ y $ .

Passo 2. Estabelecendo $ x \ succ y \; \ Rightarrow \; u (x) & gt; u (y) $ .

Supor $ x \ succ y $ . Como não assumimos indiferença entre alternativas, o conjunto de alternativas estritamente piores $ x $ , $ \ {z \ em X: x \ succ z \} $ deve conter mais elementos do que o conjunto de alternativas estritamente $ y $ , $ \ {z \ em X: y \ succ z \} $ . Em outras palavras, $ | \ {z \ em X: x \ succ z \} | & gt; | \ {z \ em X: y \ succ z \} | $ . Portanto, obtemos $ u (x) & gt; u (y) $ como um resultado.

Tomados em conjunto, os passos 1 e 2 demonstram que $ x \ succ y \; \ Leftrightarrow \; u (x) & gt; u (y) $ para qualquer arbitrariedade $ x, y \ in X $ .

— Herr K.
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