Elasticidade da substituição entre lazer em dois períodos

Essa é uma pergunta básica, mas eu sou novo nos modelos macro. A pergunta é do texto de Romer.

Suponha que uma família tenha apenas um membro e não possua riqueza inicial, e a família viva por dois períodos. Nós temos

U = \ln (c_{1}) + b \ln (1 - l_{1}) + e^{- ρ} [\ln (c_{2}) + b \ln (1 - l_{2})],

$U=\ln(c_1)+b\ln(1-l_1)+e^{-\rho}[\ln(c_2)+b\ln(1-l_2)],$ onde

c_{i} = w_{i} l_{i}

$c_i=w_il_i$ e

ρ

$\rho$ é um desconto taxa em

(0, 1)

$(0,1)$ .

O texto diz "Devido à forma funcional logarítmica, a elasticidade da substituição entre o lazer nos dois períodos é $1$ ". Tentei verificar se a elasticidade é $1$ da seguinte maneira:

Seja U_1 denotar derivada parcial de U em relação a $l_1$ . Semelhante para $U_2$ . Então,

E_{21} = \frac{d \ln (l_{2} / l_{1})}{d \ln (U_{1} / U_{2}} = (\frac{d l_{2}}{l_{2}} - \frac{d l_{1}}{l_{1}}) / (\frac{d U_{1}}{U_{1}} - \frac{d U_{2}}{U_{2}}),

$E_{21}=\frac{d\ln(l_2/l_1)}{d\ln(U_1/U_2}=(\frac{dl_2}{l_2}-\frac{dl_1}{l_1})/(\frac{dU_1}{U_1}-\frac{dU_2}{U_2}),$ onde

U_{1} = \frac{1}{U_{1}} - \frac{b}{1 - l_{1}}

$U_1=\frac{1}{U_1}-\frac{b}{1-l_1}$ e

d U_{1} = (- \frac{1}{l_{1}^{2}} - \frac{b}{(1 - l_{1})^{2}}) d l_{1}

$dU_1=(-\frac{1}{l_1^2}-\frac{b}{(1-l_1)^2})dl_1$ . Como chould

E_{21} = 1

$E_{21}=1$ ? Na verdade, eu tenho algo super bagunçado. Portanto, duvido que minha abordagem esteja correta ou não. Talvez minha fórmula não esteja correta? Desde já, obrigado!

— Vivian Miller
fonte

Dê uma olhada aqui en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_intertemporal_substitution

— caverac

$l_i$ $\frac{d\ln\frac{1-l_2}{1-l_1}}{d\ln (U_1/U_2)},$ $\frac{d\ln\frac{l_2}{l_1}}{d\ln (U_1/U_2)}$ $U_i$

\begin{matrix} U_{1} = \frac{b}{1 - l_{1}} & U_{2} = \frac{b e^{- ρ}}{1 - l_{1}} \end{matrix},

$\begin{matrix} U_1=\frac{b}{1-l_1} & U_2=\frac{be^{-\rho}}{1-l_1}\end{matrix},$

que resulta na taxa marginal de substituição sendo

M R S = \frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{1 - l_{2}}{1 - l_{1}} \frac{1}{e^{- ρ}} .

$MRS=\frac{U_1}{U_2}=\frac{1-l_2}{1-l_1}\frac{1}{e^{-\rho}}.$

Se você usar o logaritmo, obtém

\ln M R S = \ln \frac{1 - l_{2}}{1 - l_{1}} + \ln \frac{1}{e^{- ρ}},

$\ln MRS = \ln \frac{1-l_2}{1-l_1}+\ln\frac{1}{e^{-\rho}},$

onde é útil observar que o último termo do RHS é uma constante. Agora, o diferencial total é

d \ln M R S = d \ln \frac{1 - l_{2}}{1 - l_{1}} + 0,

$d\ln MRS = d\ln \frac{1-l_2}{1-l_1}+0,$

e você obtém o resultado desejado.

— Patricio
fonte