o que é

Na análise microeconômica de Hal Varian (página 213), ele discute o sistema de demanda quase ideal . Lá ele descreve o sistema de Aids da seguinte forma:

O sistema de demanda quase ideal (AIDS) tem uma função de gasto da seguinte forma: onde

$$e(\boldsymbol{p},u)=a(p)+b(p)u$$ $$a(p)=a_0+\sum_ia_i\log p_i+\frac{1}{2}\sum_i\sum_j\gamma^*_{ij}\log p_i\log p_j$$ $$b(p)=\beta_0\prod p_i^{\beta_i}$$ $$...$$

Então eu sei que é uma aproximação de segunda ordem de em nossa função de despesa, no entanto, estou tendo dificuldade em entender o que exatamente é.$a(p)$$p$$b(p)$

O que é ?$b(p)$

No artigo original de Deaton e Muellbauer (1980), Um sistema de demanda quase ideal , eles caracterizam a função de despesa (custo) para a classe de preferências do PIGLOG como:

$$\log c(u, p) = (1-u) \log \{a(p)\} + u \log \{b(p)\}\tag{1}$$

Onde eles descrevem em termos intuitivos:

"Com algumas excepções (ver o Apêndice), encontra-se entre (subsistência) e (Bliss), de modo que as funções positivas linearmente homogéneos e podem ser considerados como os custos de subsistência e Bliss, respectivamente . "(p. 313)$u$$0$$1$$a(p)$$b(p)$

Alguma álgebra fornece as equações e no artigo, que são formas análogas das equações que você tem acima.$(2)$$(3)$

Então, eu pesquisei um pouco sobre isso e parece ser um resultado da função indireta do utilitário Stone-Geary . Não tenho 100% de certeza disso, mas tenho certeza ^** .

Lembre-se de que a função do utilitário geary é definida da seguinte maneira:

$$U(x_1,...,x_n)=\prod_{i=1}^n(x_i-\gamma_i)^{\beta_i}$$

Observe que as demandas marshallianas para preferências de pedra são definidas como:

$$x^*_i=\gamma_i+\frac{\beta_i}{p_i}\left(m-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j\right) \forall\ \ i\neq j$$

ao subdividir esse resultado em nossa função de utilidade para obter nossa função de utilidade indireta, obtemos:

$$V(x^*_1,...,x^*_n)=\prod_{i=1}^n(x^*_i-\gamma_i)^{\beta_i}$$ $$V(p_1,...,p_n,m)=\prod_{i=1}^n\left(\gamma_i+\frac{\beta_i}{p_i}\left(m-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j\right)-\gamma_i\right)^{\beta_i}$$ $$V(p_1,...,p_n,m)=\prod_{i=1}^n\left(\frac{\beta_i}{p_i}\left(m-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j\right)\right)^{\beta_i}$$

Multiplicando os dois lados por e obtemos:$\prod_{i=1}^np_i^{\beta_i}$$\prod_{i=1}^n\frac{1}{\beta_i^{\beta_i}}$

$$\prod_{i=1}^n\frac{1}{\beta_i^{\beta_i}}\prod_{i=1}^np_i^{\beta_i}V=\prod_{i=1}^n(m-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j)^{\beta_i}$$

lembrando que em toda a literatura foi definido como um "parâmetro inestimável", deixe: e com fixado em algum nível de utilidade , portanto, temos:$\beta_0$$\prod_{i=1}^n\frac{1}{\beta_i^{\beta_i}}=\beta_0$$V(p_1,...,p_n,m)$$u$

Portanto:

$$\beta_0\prod_{i=1}^n p_i^{\beta_i}u=\prod_{i=1}^n(m-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j)^{\beta_i}$$

observe como isso é muito semelhante a conforme definido pela varian ^* . portanto, representaria uma função que é essencialmente as preferências de Cobb-Douglas, centradas nos níveis de renda acima da subsistência (pedra-arte) em termos de dinheiro (não bens).$b(p)$

Isso mostra como os gastos são modelados por preferências quando nosso consumidor não está mais tentando ganhar a vida.

Se fizermos uma aproximação de segunda ordem do RHS em torno de (observe que cobrimos todos os nossos preços em nosso sistema), obtemos:$p_j$

$$\beta_0\prod_{i=1}^n p_i^{\beta_i}u=\log(m)-a_0-\sum_ia_i\log p_i-\frac{1}{2}\sum_i\sum_j\delta^*_{ij}\log p_i\log p_j$$

Por sua vez:

$$\beta_0\prod_{i=1}^n p_i^{\beta_i}u=\log\left(\frac{m}{P}\right)$$

onde

$$\log(P)=a_0+\sum_ia_i\log p_i+\frac{1}{2}\sum_i\sum_j\delta^*_{ij}\log p_i\log p_j$$

A razão pela qual usamos o termo LHS é usado em vez do termo RHS é devido à construção do sistema de AIDS como uma função de despesa que exige que a utilidade seja separada por definição.

TL; DR Essa foi uma tentativa de entender por que usamos um parâmetro que acabamos sendo subdividido no sistema de demanda quase ideal.

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_{* Pode-se perguntar, isso não é inteiramente verdade, pois Deaton e Muellbauer (1980) definem no entanto, como isso desaparece como resultado das definições usadas na estrutura do sistema PIGLOG, eu acho que está tudo bem.$\log\{b(p)\}=log\{a(p)\}+\beta_0\prod_{i=1}^n p_i^{\beta_i}$}

_{** consulte o artigo de Castellón, Boonsaeng e Carpio sobre a estimativa do sistema de demanda na ausência de dados de preços: uma aplicação dos índices de preço de Stone-Lewbel página 6}