Resolvendo um jogo de duas etapas por indução reversa: qual é a noção de equilíbrio?

Faça um jogo de duas etapas com informações completas e ações simultâneas em cada estado:

(1) Os jogadores 1 e 2 escolhem simultaneamente a ação $a_1\in A_1$ e $a_2\in A_2$ respectivamente.

(2) O jogador 1 e 2 observar o resultado da primeira etapa $(a_1, a_2)$ , então escolher simultaneamente acção $a_3\in A_3$ e $a_4\in A_4$ respectivamente.

Os pagamentos são $u_i(a_1, a_2, a_3, a_4)$ para $i = 1,2$ .

Suponha que eu faça o seguinte (normalmente chamado de indução reversa):

(A) encontrar as funções de $a^*_3(a_1,a_2)$ e $a^*_4(a_1,a_2)$ tal que

{\begin{cases} a_{3}^{*} (a_{1}, a_{2}) \in a r g m a x_{a_{3} (\cdot)} u_{1} (a_{1}, a_{2}, a_{3} (a_{1}, a_{2}), a_{4} (a_{1}, a_{2})) \\ a_{4}^{*} (a_{1}, a_{2}) \in a r g m a x_{a_{4} (\cdot)} u_{2} (a_{1}, a_{2}, a_{3} (a_{1}, a_{2}), a_{4} (a_{1}, a_{2})) \end{cases}

$\begin{cases} a_3^*(a_1, a_2)\in argmax_{a_3(\cdot)}u_1(a_1, a_2, a_3(a_1, a_2), a_4(a_1, a_2))\\ a_4^*(a_1, a_2)\in argmax_{a_4(\cdot)}u_2(a_1, a_2, a_3(a_1, a_2), a_4(a_1, a_2))\\ \end{cases}$

$a_1^*, a_2^*$

{\begin{cases} a_{1}^{*} \in a r g m a x_{a_{1}} u_{1} (a_{1}, a_{2}, a_{3}^{*} (a_{1}, a_{2}), a_{4}^{*} (a_{1}, a_{2})) \\ a_{2}^{*} \in a r g m a x_{a_{2}} u_{2} (a_{1}, a_{2}, a_{3}^{*} (a_{1}, a_{2}), a_{4}^{*} (a_{1}, a_{2})) \end{cases}

$\begin{cases} a_1^*\in argmax_{a_1}u_1(a_1, a_2, a^*_3(a_1, a_2), a^*_4(a_1, a_2))\\ a_2^*\in argmax_{a_2}u_2(a_1, a_2, a^*_3(a_1, a_2), a^*_4(a_1, a_2))\\ \end{cases}$

Que noção de equilíbrio estou aplicando?

Basicamente, em (A), encontro a estratégia pura de Nash Equilibrium do estágio 2, para cada ação possível executada no estágio 1; em (B) acho a estratégia pura Nash Equilibrium do estágio 1, dada a solução de (A).

$\{a_1^*, a_2^*, a^*_3(a_1, a_2), a^*_4(a_1, a_2)\}$

game-theory nash-equilibrium

— user3285148
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