Ajudar a entender os multiplicadores Lagrangianos?

Estou tentando entender os multiplicadores lagrangianos e usando um exemplo de problema encontrado on-line.

Configuração do problema:

Considere um consumidor com a função de utilidade $u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$ , onde $\alpha \in (0,1)$ . Suponha que esse consumidor tenha riqueza $w$ e os preços $p =(p_x,p_y)$ . Foi tudo o que nos foi dado.

Trabalho que fiz:

Em seguida, defini uma equação de restrição orçamentária: $w = xp_x + yp_y$ . Também defini um Lagrangiano associado ao problema de maximização do consumidor: $\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$ .

Minha pergunta:

O que essa equação me permite fazer? Embora eu o tenha configurado de acordo com a fórmula na página da Wikipedia sobre multiplicadores Lagrangianos, realmente não tenho idéia de qual é o objetivo dessa equação. Como se eu não entendesse como a equação apresentada me permite determinar como maximizar minha função de utilidade.

Nota: Eu estou familiarizado com cálculo multivariável e Lagrangianos ( $L = T -V$ ) em física, mas esse método é novo para mim.

Uma função de otimização restrita maximiza ou minimiza um objetivo sujeito a uma ou mais restrições. Pelo que entendi, a abordagem multiplicadora Lagrangiana transforma um problema de otimização restrito (I) em um problema de otimização irrestrito (II), onde os valores ótimos de controle para o problema II também são os ótimos valores de controle para o problema I. Além disso, o objetivo funciona em os problemas I e II assumem os mesmos valores ótimos. O truque é uma maneira inteligente de colocar as restrições diretamente na função objetivo, em vez de usá-las separadamente.

Concordo com a sua apresentação do problema de maximização do consumidor: .$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Agora pegamos as derivadas parciais em relação a x an y, as definimos como zero e depois resolvemos x * e y *.

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

(eqn 1)$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$

Recupere a equação de restrição orçamentária tomando a derivada parcial .$\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

(eqn 2)$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$

Agora temos duas equações e duas incógnitas (x, y) e podemos resolver x * e y *.

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

(resultado 1)$\rightarrow \alpha = xp_x/w$

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

(resultado 2)$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$

Os resultados 1 e 2 formam o famoso resultado das ações de despesas constantes para as funções de utilidade e produção Cobb-Douglas. Que também pode ser resolvido explicitamente para X * e Y *: e y * = ( 1 - α ) w / p y que são os valores ideais para tanto o Lagrangeanos e os problemas originais.$x^* = \alpha w /p_x$$y^* = (1-\alpha) w /p_y$

Isso é por intuição, não por rigor, e assume que sabemos de que maneira você deseja se desviar da restrição. Aqui é fácil; você gostaria de gastar mais, por isso, invocamos o Lagrange para discipliná-lo a gastar vez de mais. Pense no problema nas seguintes etapas:$w$

1. Você deseja sair e consumir pizza ( ) e cerveja ( y ) e pedir aos seus pais que tomem emprestado um cartão de crédito.$x$$y$
2. Seus pais o conhecem, então, com o cartão de crédito, você recebe o seguinte aviso: se você gastar mais do que , deixaremos o nosso vizinho malvado, Sr. Lagrange, bater em seus dedos, causando uma dor no valor de λ unidades por dólar gasto em excesso.$w$$\lambda$
3. Veja o lagrangiano; agora é a sua utilidade líquida de penalidade, em função da pizza ( ), cerveja ( y ) e dor ( λ ⋅ ( x p x + y p y - w ) ). Do seu ponto de vista, você apenas maximiza isso para determinado λ (o que significa, em particular, que se λ é muito pequeno, exceder seu orçamento de forma grosseira valerá um pequeno número de tapas do Sr. Lagrange).$x$$y$$\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$$\lambda$$\lambda$
4. Do ponto de vista de seus pais, eles querem ajustar ao número que faz você escolher voluntariamente gastar precisamente w , deixando o Sr. Lagrange à distância. (Escolher λ mais alto levaria a você gastar menos, você poderia ajustar a interpretação de acordo.)$\lambda$$w$$\lambda$
5. É claro que você escolherá exatamente o nível em que fica indiferente entre ter e não ter o pacote de consumo e penalidade adicionais. Daí a interpretação do preço-sombra: é (mais precisamente: a primeira ordem se aproxima) quanto você estaria disposto a pagar - nas mesmas unidades que sua função objetivo! para aumentar seu orçamento.$\lambda$

Quanto à sugestão de mudar de sinal na restrição: é claro que funciona matematicamente, mas eu quase nunca a uso para fins de instrução; deixando como está, expõe uma restrição (da qual você não gosta, reduz sua utilidade) como equivalente a um imposto (do qual você também não gosta, para o mesma razão). Do ponto de vista econômico, você obtém a idéia de que a restrição está sendo implementada por um imposto, e isso é instrutivo para, por exemplo, modelar os impostos pigouvianos que internalizam externalidades (negativas indesejadas).$u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

Usar os multiplicadores Lgrange para otimizar uma função sob restrições é uma técnica útil , embora, no final, forneça insights e informações adicionais. Aderindo ao caso de restrições de igualdade, o problema

$$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$ $$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$$

é claro que pode ser transformado em um problema irrestrito por substituição direta:

$$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$

Mas, em geral, a substituição direta pode produzir expressões complicadas (especialmente em problemas dinâmicos), onde será fácil cometer um erro algébrico. Portanto, o método Lagrange tem uma vantagem aqui. Além disso, o multiplicador de Lagrange tem uma interpretação econômica significativa. Nesta abordagem, definimos uma nova variável, digamos , e formamos a "função Lagrangeana"$\lambda$

$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$$

Primeiro, observe que é equivalente a u ( x , y ) , pois a parte adicionada à direita é identicamente zero. Agora, maximizamos o Lagrangeano em relação às duas variáveis ​​e obtemos as condições de primeira ordem$\Lambda(x,y,\lambda)$$u(x,y)$

$$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$$

$$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$$

Igualando através de , isso fornece rapidamente a relação fundamental$\lambda$

$$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$$

Essa relação ótima, juntamente com a restrição orçamentária, fornece um sistema de duas equações em duas incógnitas e, portanto, fornece a solução em função dos parâmetros exógenos (o parâmetro da utilidade α , os preços ( p x , p y ) e a riqueza fornecida w ).$(x^*, y^*)$$\alpha$$(p_x,p_y)$$w$

Para determinar o valor de , multiplique cada condição de primeira ordem por x e y, respectivamente, e depois some pelos lados para obter$\lambda$$x$$y$

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$$

Com a utilidade homogênea do grau um, como é o caso das funções de Cobb-Douglas, temos que

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$$

e assim, no pacote ideal, temos

$$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$$

E é assim que o multiplicador de Lagrange adquire uma interpretação economicamente significativa: seu valor é a utilidade marginal da riqueza . Agora, no contexto da utilidade ordinal , a utilidade marginal não é realmente significativa (veja também a discussão aqui ). Mas o procedimento acima pode ser aplicado, por exemplo, a um problema de minimização de custos, em que o multiplicador de Lagrange reflete o aumento no custo total por um aumento marginal na quantidade produzida e, portanto, é o Custo Marginal.

Eu recomendo que você trabalhe com essa resposta, parágrafo por parágrafo, certificando-se de obter cada um deles por vez ou ficará confuso. Você pode até ignorar os posteriores, se não for necessário para o seu propósito.

A idéia principal é que, se o ponto é todo-extremo, então é necessariamente um ponto estacionário do Lagrangiano, isto é, tal ponto, que todas as derivadas parciais do Lagrangiano são nulas nele. Para resolver o problema, você deve identificar todos os pontos estacionários e encontrar o máximo entre eles.

$x= 0$$y = 0$

$x$$y$$x = 0$$y=0$

No futuro, você deve estar ciente desse problema, se esse tipo for geralmente resolvido aplicando o Teorema de Kuhn-Tucker e eu recomendo que você se familiarize com ele depois de entender este material.

$\max u(x,y)$

$$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$$

$xp_x+yp_y=w$$\lambda$$\Lambda$$u$$\lambda$$\Lambda(x,y,\lambda)$$\lambda$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$$ $\lambda$

$\lambda_i$$i$

$\lambda$$\Lambda$

$$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$$

$\lambda^*$$w-(xp_x+yp_y)$$(xp_x+yp_y)-w$