Propriedade de submodularidade em jogos de congestionamento?

Seja um jogo de congestionamento de jogadores e elementos . $G$ $n$ $m$

Para um equilíbrio $e$ , denotado por

S U P (e) ≜< s u p_{1} (e), s u p_{2} (e), \dots, s u p_{n} (e) >

$SUP(e)\triangleq<sup_1(e),sup_2(e),\ldots, sup_n(e)>$

Onde $sup_i(e)$ contém o apoio do $i$ ésimo jogador que joga $e$ (o conjunto de estratégias $i$ jogo com probabilidade positiva).

Também dizemos que $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ iff $\forall i\in[n]: sup_i(e)\subseteq sup_i(e')$ , ou seja, todo jogador em $e$ randomiza sua ação em um subconjunto das ações que ele poderia ter escolhido jogar $e'$ .

Uma última definição é o custo social, que é definido como a soma dos custos para os jogadores. $SC(e)$

Deixe- haver dois equilíbrios (possivelmente mistas) para . $e,e'$ $G$

Does implica ?
$S você P (e) \subseteq S você P (e^{'})$ $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ $S C (e) \leq S C (e^{'})$ $SC(e) \leq SC(e')$

game-theory nash-equilibrium congestion-games

— RB
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Você quis dizer ? Intuitivamente, alguém poderia pensar que concentrar o jogo do equilíbrio em torno de menos elementos levaria a que cada elemento ficasse mais congestionado.

S C (e) \geq S C (e^{'})

$SC(e)\geq SC(e')$

— Ubíquo

@ Onipresente - eu acho que é exatamente o oposto. Cada jogador está concentrado em menos elementos, o que significa que menos jogadores estão utilizando cada elemento. O fato de cada jogador agora escolher um subconjunto de elementos, e este ainda ser um equilíbrio , pode significar que a sociedade está ganhando com isso (caso contrário, parece que o jogador provavelmente voltará a usar mais elementos).

— RB

Depende da função de custo (atraso). O jogo na pergunta está especificado incompletamente, porque os payoffs (custos) estão ausentes.

— Sander Heinsalu

Esta proposição em geral não é verdadeira . Pode-se mostrar que é verdadeiro no caso e . Aqui, I apresentam um exemplo de contador quando e . $n=2$ $m=2$ $n=3$ $m=2$

Um breve comentário. Podemos reformular a pergunta em palavras: um equilíbrio de Nash que é "mais aleatório" ( versus ) é menos eficiente? Intuitivamente, à medida que estratégias mais mistas são adotadas, o resultado realizado é mais aleatório e pode ser muito ineficiente devido à falta de coordenação entre os agentes. Quando os agentes adotam estratégias puras, podemos pensar que reduzimos o problema de coordenação, considerando que consideramos os equilíbrios de Nash. Esta intuição não se sustenta se a proposição é falsa, como mostrarei quando e . $e'$ $e$ $n=3$ $m=2$

Indique e as duas ações possíveis. As funções de atraso são definidas da seguinte forma: , , e , , . Isso significa que, quando agentes jogam (resp. ), eles recebem o pagamento (resp. ). Este é um jogo de congestionamento (simétrico), desde que as funções de atraso aumentem. $A$ $B$ $d_A(1)=5$ $d_A(2)=7$ $d_A(3)=10$ $d_B(1)=1$ $d_B(2)=6$ $d_B(3)=7$ $x$ $A$ $B$ $-d_A(x)$ $-d_B(x)$

Definir como o equilíbrio quando um agente desempenha e 2 agentes desempenham . Definir como o equilíbrio quando um agente desempenha sempre , e os outros 2 desempenha com probabilidade e com probabilidade . Satisfaz a propriedade . $e$ $A$ $B$ $e'$ $B$ $A$ $\mu=2/3$ $B$ $1-\mu=1/3$ $sup(e) \subseteq sup(e')$

Primeiro, mostramos que é um equilíbrio de Nash. O agente que joga está maximizando sua recompensa, dada a estratégia dos outros dois jogadores ao escolher é melhor que escolher , (ou seja, ). Ambos os agentes que jogam estão jogando otimamente se (ou seja, ). é, portanto, um equilíbrio de Nash e seu custo social é $e$ $A$ $A$ $B$ $d_A(1)<d_B(3)$ $5<7$ $B$ $d_B(2)<d_A(2)$ $6<7$ $e$ $d_A(1)+2d_B(2)=17=\frac{153}{9}$ .

Segundo, mostramos que é um equilíbrio de Nash. Por um lado, o agente que joga está maximizando seu retorno quando os outros dois jogam estratégia mista, se é melhor jogar que , $e'$ $B$ $B$ $A$ ou seja,

(1 1 - μ)^{2} d_{B} (3) + 2 μ (1 1 - μ) d_{B} (2) + μ^{2} d_{B} (1 1) < (1 1 - μ)^{2} d_{UMA} (1 1) + 2 μ (1 1 - μ) d_{UMA} (2) + μ^{2} d_{UMA} (3)

$(1-\mu)^2d_B(3)+2\mu(1-\mu)d_B(2)+\mu^2d_B(1)<(1-\mu)^2d_A(1)+2\mu(1-\mu)d_A(2)+\mu^2d_A(3)$

, o que é verdade. Por outro lado, cada um dos agentes que jogam a estratégia mista é indiferente entre escolher

\frac{1}{9} 5 + \frac{4}{9} 7 + \frac{4}{9} 10 < \frac{1}{9} 7 + \frac{4}{9} 6 + \frac{4}{9} 1

$\frac{1}{9}5+\frac{4}{9}7+\frac{4}{9}10<\frac{1}{9}7+\frac{4}{9}6+\frac{4}{9}1$

A

$A$

B

$B$

μ d_{UMA} (2) + (1 1 - μ) d_{UMA} (1 1) = μ d_{B} (2) + (1 1 - μ) d_{B} (3)

$\mu d_A(2)+(1-\mu)d_A(1)=\mu d_B(2)+(1-\mu)d_B(3)$

é então um equilíbrio de Nash e seu custo social é

\frac{19}{3} = \frac{19}{3}

$\frac{19}{3}=\frac{19}{3}$

e^{'}

$e'$

que é igual a

(1 1 - μ)^{2} [3 d_{B} (3)] + 2 μ (1 1 - μ) [d_{UMA} (1 1) + 2 d_{B} (2)] + μ^{2} [2 d_{UMA} (2) + d_{B} (1 1)]

$(1-\mu)^2 [3d_B(3)]+2\mu(1-\mu)[d_A(1)+2d_B(2)]+\mu^2[2d_A(2)+d_B(1)]$

\frac{1}{9} 21 + \frac{4}{9} 17 + \frac{4}{9} 15 = \frac{149}{9}

$\frac{1}{9}21+\frac{4}{9}17+\frac{4}{9}15=\frac{149}{9}$ .

Por fim, demonstrámos que , mas . O equilíbrio de Nash de estratégia mista resulta em um custo social mais baixo do que o de estratégia pura. $sup(e) \subseteq sup(e')$ $SC(e) > SC(e')$

— GuiWil
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