Conhecimento comum e o quebra-cabeça dos chapéus vermelhos

Aqui está um quebra-cabeça que deve ajudar a iluminar o conhecimento comum na teoria dos jogos. Três garotas estão sentadas em círculo, cada uma usando um chapéu vermelho ou branco. Cada um pode ver a cor de todos os chapéus, exceto os seus. Agora, suponha que todos estejam usando chapéus vermelhos.

Dizem que se o professor anuncia que pelo menos um dos chapéus é vermelho e, em seguida, pergunta sequencialmente a cada garota se ela sabe a cor do seu chapéu, a terceira garota questionada saberá que seu chapéu é vermelho. Eu entendo o raciocínio lá. O primeiro deve ter visto pelo menos um chapéu vermelho nos outros dois para dizer que não sei. E a segunda garota deve ter visto um chapéu vermelho na terceira, ou então deduziria que a primeira garota viu um chapéu vermelho nela.

O que não entendo é a necessidade do professor. Todo mundo sabe que há pelo menos um chapéu vermelho. E, se começarmos com o conhecimento comum, eles devem descobrir que todo mundo sabe disso. Então, o professor só é introduzido se o conhecimento comum não for uma suposição?

Fonte: http://cowles.econ.yale.edu/~gean/art/p0882.pdf

Sem o professor, todo mundo sabe que existe pelo menos um chapéu vermelho, mas ninguém sabe que todo mundo sabe - o fato não é de conhecimento comum.

Com a introdução do professor,

• A garota 1 não responde. Devido ao conhecimento comum , 2 e 3 podem raciocinar: "1 sabe que há pelo menos um chapéu vermelho e, como ela não sabe a cor de seu chapéu, 2 e / ou 3 devem ter um chapéu vermelho.

Sem a introdução do professor,

• A garota 1 não responde. Sem o conhecimento comum, não há nada que 2 e 3 possam raciocinar sobre seu conhecimento anterior: 2 continuarão sabendo que 3 tem um chapéu vermelho e 3 continuarão sabendo que 2 tem um chapéu vermelho. Nada mais.

Em outras palavras: sem o professor, o conjunto de conhecimentos é:

• 1: 2 + 3 têm chapéus vermelhos
• 2: 1 + 3 têm chapéus vermelhos
• 3: 1 + 2 têm chapéus vermelhos

O professor trabalha como um injetor de conhecimento adicional:

• 1: 2 + 3 sabem que há pelo menos um chapéu vermelho
• 2: 1 + 3 sabem que há pelo menos um chapéu vermelho
• 3: 1 + 2 sabem que há pelo menos um chapéu vermelho

E, conhecimento comum significa que, no próximo nível, todo mundo sabe que todo mundo sabe

• 1: 2 + 3 sabem que eu sei que há pelo menos um chapéu vermelho

etc, ad infinitum . Esta informação adicional é necessária para resolver o quebra-cabeça.

Eu acho que você basicamente diz: sem o anúncio do professor, ainda não é de conhecimento geral que todo mundo vê pelo menos 1 chapéu vermelho? (Você disse: "Todo mundo sabe que há pelo menos um chapéu vermelho. E, se começarmos com o conhecimento comum, eles devem descobrir que todo mundo sabe disso.")

Eu não acho que é. A pessoa 1 vê que a pessoa 2 e 3 têm chapéus vermelhos. Sim, eu penso: "2 vê um chapéu vermelho no 3."

No entanto, penso mais: "Se 2 vê que meu chapéu é branco, então 2 pensa que 3 podem ver os dois chapéus brancos: o meu e o 2, que também podem ser brancos. Então, acho que 2 pode pensar que 3 talvez não veja um vermelho. Em outras palavras, eu não sei se 2 sabe que 3 sabe que há pelo menos 1 chapéu vermelho. Não é do conhecimento geral que há pelo menos 1 chapéu vermelho, porque eu acho que é possível que 2 pense que 3 não vê um chapéu vermelho ".

Isso divide a solução antiga dessa maneira. Suponha que 3 e 2 digam sequencialmente que não sabem que chapéu de cor usam. Então é a vez de 1. Eu penso: "Se 2 sabe que 3 vê um chapéu vermelho, então meu chapéu é vermelho. Porque, caso contrário, meu chapéu é branco, então 2 conclui que o chapéu dele é o chapéu vermelho que 3 vê. Tudo bem, mas eu sei que 2 sabe que 3 vê um chapéu vermelho? Pelo exposto, não, eu não sei! Eu não sei que 2 sabe que 3 sabe que existe um chapéu vermelho. E, em particular, não é do conhecimento geral! "

Conclusão: sem o anúncio do professor, perdemos (1) o conhecimento comum e (2) a solução antiga na qual a última pessoa a adivinhar pode adivinhar a cor do chapéu.