Forma reduzida de modelo econométrico, problema de identificação e teste

Procurando ajuda para entender o seguinte problema e como usar o formulário reduzido em econometria

Considere um modelo para a saúde de um indivíduo:

$$health = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + (b_6)exercise + u$$

suponha que todas as variáveis ​​na equação, com exceção do exercício, não estejam correlacionadas com u.

A) Anote a forma reduzida para exercício e indique as condições sob as quais os parâmetros da equação são identificados.

B) Como a suposição de identificação na parte c pode ser testada?

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É correto assumir:

$$exercise = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + u$$ como a forma reduzida?

e é a condição para a identificação de parâmetros simplesmente

$E(exercise|u)=0$

e como posso testá-lo? Mas, além disso, para que serve?

Esta é a pergunta muito padrão sobre variáveis ​​instrumentais de modelos lineares de equação única. Dadas as primitivas da sua pergunta, a única variável endógena é o exercício . Para responder a essa pergunta específica, você precisa de uma variável exótica, z , que satisfaça duas condições:

1. cov (z, u) = 0.
2. Deve haver uma relação entre a variável endógena e essa variável exógena que você está propondo, mas ela não fazia parte do verdadeiro modelo postulado (o modelo estrutural). Em outras palavras, com , e ortogonal a todas as suas variáveis ​​explicativas (que não sejam exercício) e z. $$exercise=\beta_0+\beta_1 age +\beta_2 weight + \beta_3 height + \beta_4 male + \beta_5 work + \phi z + \varepsilon_{exercise}$$ $\phi\ne 0$$\mathbb{E}\,( \varepsilon_{exercise})=0$

Antes de prosseguir, uma observação. Por modelo estrutural, quero dizer, seguindo a convenção de Wooldridge e Goldberger, o modelo postulado. Ou seja, o modelo que afirma a relação causal entre a saúde e suas covariáveis. Esta é uma diferença fundamental e um desacordo com as respostas anteriores.

Agora, voltando ao problema em questão, a condição 2 é o que na literatura de equações simultâneas chama de equação de forma reduzida , que nada mais é do que uma projeção linear do endógeno em todas as variáveis ​​exógenas, incluindo z.

Agora, conecte o formulário reduzido ao seu modelo postulado e você obterá

$$health=\alpha_0 + \alpha_1 age + \alpha_2 weight + \alpha_3 height + \alpha_4 male + \alpha_5 work + \delta z + \nu$$ onde , e . Pela definição de projeção linear, não está correlacionado com todas as variáveis ​​explicativas e, portanto, o OLS dessa última equação produzirá estimativas consistentes para e , e não o subjacente no modelo verdadeiro.$\alpha_i = b_i + b_6\beta_i,\: \forall i \in \{1,\dots,5\}$$\delta=b_6\phi$$\nu = u+b_6\varepsilon_{exercise}$$\nu$$\alpha_i$$\delta$$b_i$

A identificação requer um pouco de manipulação na forma de matriz, mas essencialmente se reduz à chamada condição de classificação . Defina e para que seu modelo estrutural seja . Agora defina . Pela condição 1 (cov (z, u) = 0, de modo que E (z, u) = 0), Se você multiplicar os lados do modelo estrutural por e tomar as expectativas que você tem Posição condição estados quex = ( 1 , a g e , … , e x e r c i s e ) $\mathbf{b}=(b_0,\dots,b_6)'$$\mathbf{x}=(1, age, \dots, exercise)'$$health=\mathbf{x}'\mathbf{b}+u$$\mathbf{z}\equiv(1,age,\dots,work,z)'$

$$\mathbb{E}(\mathbf{z}u)=0$$ $\mathbf{z}$ $$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')\mathbf{b}=\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$$ $\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')$é a classificação da coluna completa. Neste exemplo em particular e dadas condições em z, isso equivale à Portanto, temos 6 equações em 6 incógnitas. Portanto, existe um único solução para o sistema, isto é, é identificada e é igual a , conforme desejado.b [ E ( z x ′ ) ] - 1 E ( z y $rank(\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')=6$$\mathbf{b}$$[\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')]^{-1}\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

Comentários: A condição 1 é útil para obter a condição de momento, mas o modelo de formulário reduzido com é crucial para a condição de classificação. Ambas as condições são usuais.$\phi$

Neste ponto, deve ficar claro por que precisamos disso. Por um lado, sem z, o estimador OLS do modelo verdadeiro produzirá estimadores inconsistentes, não apenas para mas para todos os . Por outro lado (e um pouco relacionados), nossos parâmetros são identificados de forma exclusiva, portanto, temos certeza de que estamos estimando a verdadeira relação causal, conforme declarado em nosso verdadeiro modelo.b $b_6$$b_i$

Em relação ao teste, a condição 2 (z e exercício estão parcialmente correlacionados) pode ser testada diretamente e você deve sempre relatar esse passo contrário ao comentário em uma resposta anterior. Existe uma enorme literatura em relação a esta etapa, especialmente a literatura de instrumentos fracos.

A segunda condição não pode ser diretamente testada, no entanto. Às vezes, você pode invocar a teoria econômica para justificar ou fornecer hipóteses alternativas que suportem o uso de z.

A pergunta não faz muito sentido para mim, como afirmado. Se o problema disser que o exercício é endógeno (correlacionado com o termo do erro), você não pode assumir o oposto na solução. Além disso, geralmente se fala de forma reduzida versus estrutural no contexto da estimativa IV. Se o exercício for endógeno, você precisará de um instrumento (variável que prediz o exercício, mas que não afeta a saúde de outra forma) para obter efeitos causais. Por exemplo, se algumas pessoas da sua amostra ganharam aleatoriamente cupons de associação à academia, esse poderia ser um instrumento válido.

As premissas de identificação seriam então

1. cupom realmente prevê exercício

2. o cupom é ortogonal para$u$

O que é chamado de forma estrutural seria duas equações, uma do seu modelo original, a outra regressão do exercício no cupom e outras variáveis ​​explicativas do modelo original (o primeiro estágio). A forma reduzida seria quando você substituir o primeiro estágio na equação principal, assim você regride a saúde em idade, peso, ..., trabalho e cupom (mas não o exercício , pois foi substituído). Às vezes, a forma reduzida é usada para explicar as propriedades da estimativa IV, mas o AFAIK não é muito usado na prática.