Quando um receptor deve aleatoriamente executar ações em um jogo de sinalização?

Suponha que há um jogo de sinalização com um espaço finito mensagem , finito espaço de ação , e tipo espaço finito . Ainda mais simples, todos os tipos de remetentes têm preferências idênticas (o receptor apenas prefere ações diferentes em resposta a tipos diferentes). O receptor pode se sair estritamente melhor ao aleatorizar as respostas? Quando existe um equilíbrio em que o receptor apenas realiza ações puras? $M$ $A$ $T$

Ubiquitous resumiu bem minha pergunta: "É sempre o caso que o equilíbrio com os maiores retornos de recebedores necessariamente envolve estratégias mistas?"

Vamos com o equilíbrio seqüencial. Se você deseja alguma notação, para começar.

$\sigma_{t}(m)$ é a probabilidade de que envia . $t\in T$ $m\in M$

$\sigma_R^m(a)$ é a probabilidade de o receptor responder a com fornece as crenças do receptor após observar . $m$ $a\in A.$ $\mu^m \in \Delta T$ $m$

Um equilíbrio seqüencial requer fornece respostas ótimas dadas , é ótimo dado e é bayesiano dado . Essa é realmente a definição de um seqüencial fraco, mas não há distinção em um jogo de sinalização. $\sigma_t$ $\sigma_R$ $\sigma_R$ $\mu$ $\mu$ $\sigma$

Minha intuição diz não quando existe um equilíbrio em que o receptor apenas executa ações puras, mas eu sempre fui horrível com esse tipo de coisa. Talvez também tenhamos que estipular que não se trata de um jogo de soma zero, mas só estou dizendo isso porque lembro que os jogadores estão em melhor situação com a capacidade de aleatorizar nesses jogos. Talvez esta seja uma nota de rodapé em algum artigo?

Considere o jogo abaixo, onde as preferências do remetente não são idênticas. Peço desculpas pela baixa qualidade. Existem três tipos de remetentes, cada um igualmente provável. Podemos criar o que acredito ser o equilíbrio ótimo do receptor (jogador 2) somente se eles aleatorizarem ao receber a mensagem 1. Então os tipos 1 e 3 reproduzirão , criando um equilíbrio de separação. Se o receptor usar uma estratégia pura em resposta a , um tipo 1 ou 2 se desviaria e pioraria o receptor. $m_2$ $m_1$

$\sigma_R^{m_1}(a)=.5=\sigma_R^{m_1}(r)=.5$

insira a descrição da imagem aqui

game-theory

— Pburg
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As ações tomadas pelo destinatário em função do tipo afetam a mensagem enviada pelo remetente ou são independentes?

— Martin Van der Linden

Não sei exatamente o que você quer dizer. Existe um tipo de receptor. Sua estratégia mapeia as mensagens em uma distribuição por ações. Eles só têm impacto na mensagem, na medida em que os remetentes estão apresentando uma melhor resposta.

— Pburg

Suponha que exista um equilíbrio no qual o receptor randomize sobre o conjunto de ações . Isso significa, por definição, que ele deve ser indiferente entre quaisquer duas distribuições de probabilidade acima de - incluindo aquelas nas quais todo peso é colocado em uma única ação (estratégias puras). Portanto, não, uma estratégia mista nunca pode ser estritamente melhor que a melhor estratégia pura. Ou entendi mal a pergunta?

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— Ubíquo

@ Onipresente Isso faz sentido para mim, mas eu queria saber se pode haver alguns casos patológicos estranhos. Por exemplo, eu só consegui encontrar um teorema: "Para escolhas genéricas de payoffs em um jogo de forma extensa e finita com recall perfeito, os payoffs são constantes em cada componente conectado de equilíbrios seqüenciais". A ressalva genérica me fez pensar.

— Pburg

@ Pburg Sim, entendo. Parece que tínhamos em mente perguntas diferentes. Eu estava pensando "será que a melhor resposta única do receptor a uma determinada estratégia de remetente é uma estratégia mista?", Enquanto parece que sua pergunta é realmente "é sempre o caso de que o equilíbrio com os pagamentos mais altos do receptor necessariamente envolva estratégias mistas? "

— Ubíquo

Respostas:

Talvez eu tenha um contra-exemplo!

Haja três mensagens, e , e três tipos de remetentes onde , e . O envio de resulta em um pagamento para remetentes, podemos pensar nisso como sair do jogo. $m_1, m_2,$ $m_3$ $t_1,t_2,t_3$ $\Pr(t=t_3)=\frac{1}{2}-\epsilon$ $\Pr(t=t_2)=\frac{1}{4}$ $\Pr(t=t_1)=\frac{1}{4}+\epsilon$ $m_3$ $0$

O conjunto de respostas do receptor a uma mensagem é $m=m_1,m_2$ $\{a,r\}$

$u_t(a,m_1)=1 > u_t(a,m_2)=\beta>u_t(r,\cdot)=0$

$u_R(t_1,m_1,a)=u_R(t_2,m_2,a)=2$ , , $u_R(t_3,m_i,a)=1$

$u_R(t_2,m_1,a)=u_R(t_2,m_1,a)=0$ , , $u_R(t_3,m_i,r)=2$

$u_R(t_1,m_i,r)=u_R(t_2,m_i,r)=1$ .

Então, em equilíbrio, todos os remetentes devem obter a mesma utilidade, correto? Caso contrário, um imitará a estratégia do outro.

Portanto, o único equilíbrio puro da estratégia é que todos os remetentes escolham . Em um equilíbrio de conjunto em ou , a melhor resposta é escolher . Não existe uma estratégia pura que separa o equilíbrio, exceto se e enviam , e o receptor responde com . Então é indiferente entre todas as mensagens, porque ele certamente será recebido com a recompensa . Tudo isso fornece retorno ao receptor $m_3$ $m_1$ $m_2$ $r$ $t_1$ $t_2$ $m_2$ $r$ $t_3$ $0$ $\frac{3}{2}-\epsilon$

Em seguida, considere o caso em que eAgora, os remetentes são indiferentes entre o envio dessas duas mensagens. Então, e para . Então a estratégia do receptor é racional. $\sigma_R^{m_1}(a)=\beta$ $\sigma_R^{m_2}(a)=1.$ $\sigma_{t_3}(m_1)=\frac{\epsilon+1/4}{-\epsilon+1/2}=1-\sigma_{t_3}(m_1)$ $\sigma_{t_i}(m_i)=1$ $i=1,2$

O utilitário esperado do receptor de dado ou é 1,5. O utilitário esperado de está ligeiramente acima de 1,5, dado . Portanto, o retorno esperado ex ante está acima de , melhor do que o puro equilíbrio descrito acima. Além disso, essa separação é mantida apenas pela mistura. Qualquer outra estratégia pura adotada pelo receptor induzirá o agrupamento de remetentes, o que significa que o único equilíbrio puro da estratégia é quando o receptor escolhe . $m_1$ $a$ $r$ $m_2$ $a$ $\frac{3}{2}-\epsilon$ $r$

Eu deveria ter s na imagem abaixo para os pagamentos do remetente do lado esquerdo para . Eu acho que o é o ingrediente principal. $\beta$ $a$ $\beta<1$

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— Pburg
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Eu acho que isso não pode acontecer com remetentes avessos ao risco, receptor neutro ao risco e rico o suficiente. $A$

Por exemplo, e para manter o modelo de sinalização canônica, suponha que seja a linha real positiva e a utilidade do remetente esteja aumentando em tempo enquanto os receptores possuam uma utilidade linear decrescente em . $A$ $u$ $a$ $a$

(É certo que essa é apenas uma resposta parcial, já que a estrutura é muito menos geral que a da sua pergunta, portanto pode não ser satisfatória para você. Eu ainda apresento um argumento caso você esteja de acordo com essas suposições)

Derivar uma contradição, suponha que em um equilíbrio e para alguns . Deixei $\sigma^m_R(a') > 0$ $\sigma^m_R(a'') > 0$ $a' \neq a'' \in A$

a^{‴} \equiv \frac{σ_{R}^{m} (a^{'})}{σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})} a^{'} + \frac{σ_{R}^{m} (a^{″})}{σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})} a^{″} .

$a''' \equiv \frac{\sigma^m_R(a')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } a' + \frac{\sigma^m_R(a'')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } a''.$

Por aversão ao risco

u [a^{‴}] > \frac{σ_{R}^{m} (a^{'})}{σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})} u (a^{'}) + \frac{σ_{R}^{m} (a^{″})}{σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})} u (a^{″}) .

$u[ a''' ] > \frac{\sigma^m_R(a')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } u(a') + \frac{\sigma^m_R(a'')}{\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'') } u(a'').$

[σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})] u (a^{‴}) > σ_{R}^{m} (a^{'}) u (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″}) u (a^{″}) .

$[\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')] u( a''' ) > \sigma^m_R(a') u(a') + \sigma^m_R(a'') u(a'').$

Sob alguma hipótese de continuidade, também deve existir

a^{⁗} < a^{‴}

$a '''' < a'''$

de tal modo que

[σ_{R}^{m} (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″})] u (a^{⁗}) = σ_{R}^{m} (a^{'}) u (a^{'}) + σ_{R}^{m} (a^{″}) u (a^{″}) .

$[\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')] u( a'''' ) = \sigma^m_R(a') u(a') + \sigma^m_R(a'') u(a'').$

Portanto, considere construído da seguinte maneira $\sigma^m_R{'}$

$\sigma^m_R{'}(a') = \sigma^m_R{'}(a'') = 0$ ,
$\sigma^m_R{'}(a'''') = \sigma^m_R(a'''') + [\sigma^m_R(a') + \sigma^m_R(a'')]$
Para todos os outros , $\tilde{a}$ $\sigma^m_R{'}(\tilde{a}) = \sigma^m_R(\tilde{a})$

Os receptores preferem sobre se não alterar os sinais enviados pelos remetentes, porque envolve compensações esperadas mais baixas. Mas, por construção, os remetentes são indiferentes entre e , portanto, eles devem enviar os mesmos sinais que em . Assim, não pode ser um equilíbrio que mostra que não podemos ter duas ações diferentes executadas com probabilidade positiva em equilíbrio. $\sigma^m_R{'}$ $\sigma^m_R$ $\sigma^m_R{'}$ $\sigma^m_R$ $\sigma^m_R$ $\sigma^m_R$

— Martin Van der Linden
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Nesse modelo, o receptor sempre não escolhe apenas ?

a = 0

$a=0$

— Pburg

Eu não, este é necessariamente o caso. Se o receptor sempre escolhe sinal, não importa, ele não incentiva tipos "altos" a revelar seu tipo através de um sinal "mais alto". Isso pode ser ideal em um equilíbrio de conjunto, mas não em um equilíbrio de separação. Veja por exemplo a secção 13.c de Mas-Colell, Whinston e verde, embora a configuração é novamente um pouco diferente da sua (por exemplo, existem duas empresas concorrentes para os trabalhadores de diferentes tipos)

a

$a$

— Martin Van der Linden

O que significa "receptor tem utilidade linear decrescente em" significa então?

— Pburg

Desculpe, isso não estava muito claro. No modelo de sinalização Spence que tenho em mente, a ação que o destinatário realiza consiste em pagar um salário ao remetente. O utilitário receptor depende do tipo de remetente t, menos o salário pago t-w. Basicamente, o receptor é neutro ao risco: ela se importa apenas com o salário esperado que terá que pagar e com o tipo esperado que empregará.

— Martin Van der Linden

Ok, suponho que eu tenha visto isso como perda quadrática,Obrigado pela sugestão, embora eu esteja procurando algo um pouco mais geral, mas com ações discretas.

- (t - w)^{2} .

$-(t-w)^2.$

— Pburg