Qual é um exemplo de função de utilidade em que um bem é inferior?

Digamos que o consumidor tenha uma preferência monotônica convexa e padrão sobre Maçãs e Bananas.

(Atualização: eu gostaria que a preferência fosse o mais "padrão" possível. Portanto, idealmente, temos a MRS decrescente em todos os lugares e também temos "mais é melhor" em todos os lugares.)

Digamos que sua preferência possa ser representada por alguma função de utilidade . Ele deve satisfazer alguma restrição orçamentária , onde é sua renda. $u(A,B)$ $p_AA+p_BB=y$ $y$

Então, qual é o exemplo de uma função de utilitário na qual , pelo menos em algumas circunstâncias? $\frac{\partial A}{\partial y}<0$

Parece-me uma pergunta muito simples, mas, brevemente, pesquisando no Google, não consigo encontrar nada.

utility preferences

— Kenny LJ
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Respostas:

Um bem não pode ser inferior em toda a faixa de renda.

O artigo Uma Função de Utilidade Conveniente com Comportamento de Giffen mostra que, para uma pessoa com utilidade do formulário:

U (x, y) = α_{1} \ln (x - γ_{x}) - α_{2} \ln (γ_{y} - y)

$U(x,y) = \alpha_1 \ln(x-\gamma_x)- \alpha_2 \ln(\gamma_y - y)$

X é inferior se e forem positivos, e no domínio e . $\gamma_x$ $\gamma_y$ $0<\alpha_1<\alpha_2$ $x>\gamma_x$ $0\leq y<\gamma_y$

Atualização: Se o orçamento for , portanto, para é ~~inferior e~~ pegajoso . Percebeu que isso é realmente uma elasticidade de renda zero e não negativa, portanto não é inferior.

U (x, v) = x + \ln (v)

$U(x,v) = x + \ln(v)$

w

$w$

v^{*} = min (P_{x} / P_{V}, w)

$v^* = \min(P_x / P_V, w)$

w > P_{x} / P_{V}

$w>P_x / P_V$

v

$v$

Encontrei outra forma funcional descolada para uma função de utilidade em que um bem é inferior, mas também tem uma utilidade marginal crescente do outro bem: um bem inferior e um novo mapa de indiferença

U = A_{1} \ln (x) + y^{2} / 2

$U = A_1 \ln(x) + y^2 /2$ Essa função fornece um mapa de indiferença louco.

O exemplo clássico para mim de bens inferiores são coisas como comida barata, onde comida deliciosa, que é muito mais cara, a empurra para fora porque há uma restrição adicional (capacidade do estômago) que eventualmente se liga. Deveria ser possível fazer um exemplo em que a inferioridade é uma conseqüência dessa segunda restrição e não a função de utilidade.

Atualize com outro exemplo:

O artigo O caso de um “Giffen Good” (Spiegel (2014)) mostra que, para uma pessoa com utilidade no formato: que e são valores constantes e positivos.

U = {\begin{matrix} α X - β X^{2} / 2 + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & 0 \leq X \leq α / β \\ α^{2} / 2 β + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & X > α / β \end{matrix}}

$U = \begin{Bmatrix} \alpha X - \beta X^2 / 2 + \lambda Y + \delta Y^2 / 2 & for & 0\leq X\leq \alpha/\beta \\ \alpha^2 /2 \beta + \lambda Y + \delta Y^2 /2 & for& X > \alpha/\beta\end{Bmatrix}$

α, β, λ,

$\alpha, \beta, \lambda,$

δ

$\delta$

Mas, como nas funções acima, essa função de utilitário tem MU crescente em um bem (Y). Aparentemente, isso é comum nas configurações de Giffen:

No caso de uma função de utilidade aditiva, em que as utilidades marginais de todos os bens estão diminuindo com o consumo dos bens, ou seja, a utilidade marginal da renda está diminuindo, todos os bens são normais e são substitutos líquidos um do outro. No entanto, se, para um bem (no nosso caso, o bem Y), a utilidade marginal é positiva e crescente, e para o (s) outro (s) bem (s), a (s) utilidade (s) marginal (is) está (estão) diminuindo (no nosso caso, o bom X), então a utilidade marginal da renda está aumentando. O bem que exibe utilidade marginal crescente é um bem de luxo, enquanto o bem que exibe utilidade marginal decrescente é um bem inferior. Essas características foram comprovadas por Liebhafsky (1969) e Silberberg (1972) e wen: usadas para desenvolver a função de utilidade acima, que ilustra o caso de um bem de Giffen.

— BKay
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Um problema com essa função é que essa não é uma função de utilidade padrão. Como o próprio autor escreve, "no caso do bom Y, a utilidade marginal aumenta à medida que mais é consumida".

— Kenny LJ

Se você tiver requisitos adicionais de forma funcional, recomendo adicioná-los à sua pergunta para melhorar a qualidade das respostas recebidas.

— BKay

Eu fiz: afirmei que a preferência deve ser convexa.

— Kenny LJ

Então você fez, desculpe.

— BKay

Vamos continuar esta discussão no chat .

— BKay

Vamos ver o que implica a inferioridade de um bem no caso de dois bons. Consulte "A Estrutura da Economia", de Silberberg (ainda um dos melhores livros de graduação em microeconomia já escritos), cap. 10 para mais detalhes.

A maximização da utilidade é descrita por (estrelas indicam níveis ótimos)

U_{A} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{A} \equiv 0

$U_A(A^*,B^*) - \lambda^*p_A \equiv 0$

U_{B} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{B} \equiv 0

$U_B(A^*,B^*) - \lambda^*p_B \equiv 0$

y - p_{A} A^{*} - p_{B} B^{*} \equiv 0

$y- p_AA^* - p_BB^* \equiv 0$

e observe o uso do símbolo de identidade em vez da igualdade simples - essas relações sempre são ótimas. Então podemos diferenciar os dois lados e manter a identidade. Faça isso e resolva o sistema de equações para determinar as diversas derivadas, e você descobrirá que, se o bom for inferior, , então devemos ter naquela $3 \times 3$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

p_{A} U_{B B}^{*} > p_{B} U_{A B}^{*}

$p_AU^*_{BB}> p_BU^*_{AB}$

Se estivermos dispostos a aceitar , então o parcial parcial pode ser zero e podemos ter uma função de utilidade como a mencionada na resposta de @BKay. $U_{BB} >0$ $U_{AB}$

Mas se queremos manter , então deve ser o caso de , a derivada parcial parcial da função de utilitário também deve ser estritamente negativa (e, portanto, não zero). Por sua vez, isso implica preferências que não são separáveis , de forma aditiva ou multiplicativa. $U_{BB} <0$ $U_{AB}$

Talvez você possa considerar algo como

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

e todos os quatro parâmetros positivos. Por exemplo, para valores, o mapa de indiferença é $a=5, k=0.4, b=0.2, h=0.8$

insira a descrição da imagem aqui

Minha conjectura é que, para você poderá ter toda a configuração padrão juntamente com a inferioridade de (e para valores adequados de preços e outros parâmetros, é claro). Encontre as condições de primeira ordem, substitua em termos de na restrição de orçamento e use o teorema da função implícita para determinar as condições nos parâmetros necessários para . E não se esqueça de verificar se essas condições são compatíveis com as condições de segunda ordem para maximizar a utilidade. $0<h<1$ $A$ $B$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

COMENTÁRIO 7 de outubro de 2015
Alguns comentários nesta resposta me parecem confundir a questão da representação preferencial e da preservação da classificação preferencial sob transformações monotônicas, com a propriedade de "inferioridade" de um bem. As preferências e sua representação não têm nada a ver com a existência de uma restrição orçamentária. Por outro lado, "inferioridade" tem tudo a ver com a existência de uma restrição orçamentária e como ela afeta as escolhas ( não as preferências) à medida que muda.

E a transfominação monotônica não deixa tudo "inalterado". Considere a função de utilidade , e sua transformação monotônica . É fácil ver que, enquanto , temos esse . Em outras palavras, transformações monotônicas podem preservar a classificação dos feixes, mas isso não significa que eles proporcionem as mesmas relações entre os bens. E, como escrevi acima, a propriedade da "inferioridade" depende dos sinais e magnitudes relativas das segundas derivadas parciais da função utilidade usada, sinais e magnitudes relativas que dependem da forma funcional real usada. $V = A^k+ B^h$ $U =\ln(A^k+ B^h)$ $\frac {\partial^2 V}{\partial AB} = 0$ $\frac {\partial^2 U}{\partial AB} \neq 0$

— Alecos Papadopoulos
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Não faz dá a mesma preferência ordenação sobre pacotes como ? Essas são apenas as preferências de Cobb-Douglas depois que você faz o registro, que não deve mostrar inferioridade, mas compartilhamentos de orçamento constantes.

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

U (A, B) = a A^{k} + b B^{h}

$U(A,B) = aA^k + bB^h$

— BKay

As funções do utilitário Cobb-Douglas do @BKay representam preferências separáveis. Como escrevi na minha resposta, é necessário (embora não suficiente) não ter separabilidade, para poder ter inferioridade. E essa forma funcional específica, diferentemente das formas Cobb-Douglas, possui essa propriedade de não separabilidade. Sem o logaritmo, isso não acontece. Deixo para qualquer pessoa interessada em explorá-lo ainda mais.

— Alecos Papadopoulos

Apenas para salientar, como o @Bkay fez, é uma transformação monotônica de . Então, ambos representam a mesma preferência.

\ln [a A^{k} + b B^{h}]

$\ln [aA^k +bB^h]$

a A^{k} + b B^{h}

$aA^k +bB^h$

— Kenny LJ

@KenyLJ O que importa para sua pergunta, que é sobre formas funcionais que podem refletir inferioridade, é se a forma funcional é caracterizada por separabilidade ou não (se você deseja manter segundas derivadas decrescentes da função de utilidade).

— Alecos Papadopoulos

Alecos, é alucinante. O que você está dizendo é que uma pessoa com exatamente as mesmas preferências (que são, pois é uma transformação monotônica) pode escolher diferentes pacotes de consumo, dependendo de como você escreveria a função de utilidade dela. Por favor ...

É bastante complicado obter modelos tratáveis com propriedades razoáveis / realistas. Um caso geral de goods é apresentado por Sørensen em Heijman et al. (2012) , p. 100-3. Outro exemplo, para dois produtos e com domínio limitado, é dado por Haagsma (2012) . Verificar as referências nelas é a maneira mais fácil de obter uma coleção substancial de funções de utilidade para bens inferiores - embora pareça haver mais literatura sobre os produtos Giffen do que os menos exigentes. $n$

Em relação à discussão anterior sobre a convexidade das preferências, as funções de utilidade que produzem diferentes funções de demanda após uma transformação monotônica positiva não são quase côncavas e, portanto, as preferências não são convexas, uma vez que a quase cavidade é preservada com qualquer composição não decrescente. Que a função que Alecos Papadopoulos sugeriu não seja Cobb-Douglas deve ser fácil de ver.
Entretanto, se for quase côncava, então produzirá as mesmas funções de demanda (e os mesmos efeitos de preço e renda) que que é positivo transformação monotônica, independentemente de ser fracamente separável ou não.Um aviso: cuidado com os efeitos no domínio. $u(x_1,x_2)$ $v(x_1,x_2)=f(u(x_1,x_2)$ $f$ $u$

— dugo
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