Extensões de equilíbrios de Nash para jogos com estratégias infinitas

No livro de Jehle e Reny (que devo acrescentar que não li muito além de algumas seções de interesse), é comprovado um teorema que afirma que sempre existe um equilíbrio (misto) de Nash em jogos de formas estratégicas finitas. O livro supõe que todos os jogadores tenham o mesmo número de ações disponíveis, mas não é difícil imaginar como isso pode ser estendido ao caso em que isso não é verdade.

No entanto, estou interessado em saber se existe alguma extensão disso nos jogos, principalmente naqueles em que pode haver infinitas opções. Por exemplo, claramente não há equilíbrio em um jogo em que um jogador vence escolhendo o número mais alto, mas se tivermos, por exemplo, o mesmo jogo, mas onde o número deve estar dentro do intervalo (ou qualquer intervalo que contém seu limite superior), as melhores funções de resposta "convergem". Da mesma forma, eu também suspeitaria que é preciso haver funções de custo e demanda "bem comportadas" nos modelos de concorrência para obter resultados "bons". $[0, 100]$

Como tal, tenho duas perguntas:

Existe algum tipo de cenário bem definido no qual um jogo com infinitas opções de estratégia terá um equilíbrio de Nash?
Qual seria a leitura relevante para isso?

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Respostas:

Sim, existe essa configuração. O resultado é que

Se o espaço estratégico de cada jogador for

convexo

compactar

e se os retornos são contínuos, existe pelo menos um equilíbrio de Nash (possivelmente em estratégias mistas).

Isso ocorre mesmo quando o conjunto de ações possíveis é incontávelmente infinito. Se alguém assumir adicionalmente que os payoffs são quase côncavos, a correspondência de melhor resposta será convexa, mesmo quando restringirmos a atenção a estratégias puras, para garantir que tenhamos pelo menos um equilíbrio em estratégias puras nesse jogo.

Eu acredito que a referência original aqui é

IL Glicksberg. " Uma generalização adicional do teorema do ponto fixo de Kakutani, com aplicação aos pontos de equilíbrio de Nash ". Proceedings of American Mathematical Society , 3 (1): 170-174, 1952.

O tratamento no artigo de Glicksberg, no entanto, não parece muito acessível. Uma boa referência inicial é mais provável que seja a seção 1.3 do livro de Fudenberg & Tirole "Game Theory" .

— Onipresente
fonte

"Fechado e delimitado" implica necessariamente "convexo e compacto"? Eu posso imaginar regiões fechadas e limitadas em, digamos, que não seriam convexas.

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

Não, a observação fechada e delimitada faz referência à compacidade: a definição de um conjunto compacto é aquela que é fechada e delimitada.

— Ubíquo

Certo, desculpe, eu interpretei mal o posicionamento do "e".

De fato, o artigo citado Glicksberg opera explicitamente em um contexto em que a caracterização da compactação não é verdadeira - em um espaço vetorial normatizado, fechado e delimitado na norma, implica apenas compactação fraca.

— Michael Michael

@densep No jogo de moedas de um centavo correspondente, as ações disponíveis são discretas e, portanto, o jogo possui um espaço estratégico não convexo, pelo que a primeira condição na declaração acima falha.

— Ubíquo

Embora compacidade e convexidade ainda sejam necessárias, a referência a seguir lida com a existência em jogos do espaço vetorial com certos tipos de descontinuidades.

Reny, P. (1999) "Sobre a existência de equilíbrios de Nash de estratégia pura e mista em jogos descontínuos", Econometrica 67, 1029-1056

— adamski
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