O que é um substituto / complemento em termos de derivativos parciais mistos?

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Estou tentando entender como a substituibilidade se relaciona com derivadas parciais mistas. Eu pensei que a mudança na utilidade marginal em relação a uma mudança na quantidade de corresponderia a $x$ então fiquei confuso quando tomo a parcial disso em relação a. Isso mede a taxa MU muda wrtmedida que mudamos? Como isso está relacionado a ser um substituto?

\frac{\partial U}{\partial x}

$\frac{\partial U}{\partial x}$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

microeconomics

— Stan Shunpike
fonte

Se começarmos com o básico: se

é complementar

então

y

$y$

x

$x$

. Direita?

\frac{d y_{d}}{d p_{x}} < 0

$\frac{dy_d}{dp_x} < 0$

— snoram

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É muito importante observar aqui que existem várias possibilidades, mutuamente inconsistentes, de como definir um substituto / complemento.

$x$ $y$ $y$ $x$

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} > 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}>0\tag{1}$

$x$ $y$ $y$ $x$

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} < 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x\partial p_y}<0\tag{2}$

$U$

$x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $y$ $y$ $x$ Seidman (1989) para uma breve visão geral.

Ambos os conceitos são úteis em diferentes situações - depende do que você está interessado!

Nota mais técnica: você pode notar que (1) e (2) não parecem muito semelhantes entre si: (2) é um conceito compensado , mantendo-nos na mesma curva de indiferença, enquanto (1) não é. Essa é uma crítica válida e, de fato, existe uma noção alternativa de "complementos-q" que é compensada e uma noção de "complementos-p" que não é.

$x$ $y$ $U$ , embora eu não tenha uma cópia dela.) Essa noção também tem uma caracterização parcial mista, em termos de algo chamado função de distância, que é uma ferramenta interessante de micro-teoria que ninguém aprende mais; a matriz de parciais mistos da função de distância é chamada de matriz de Antonelli e é um inverso generalizado da amada matriz de Slutsky.

$x$ $y$ $y$ $x$

$y$ $x$ $U$

— nominalmente rígido
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Você pode esclarecer por que a equação 2 implica que eles devem ser substitutos?

— Stan Shunpike

\frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} = \frac{\partial (\partial C / \partial p_{x})}{\partial p_{y}} = \frac{\partial h_{x}}{\partial p_{y}}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x \partial p_y} = \frac{\partial(\partial C / \partial p_x)}{\partial p_y} = \frac{\partial h_x}{\partial p_y}$

h_{x}

$h_x$

x

$x$

Sim, mas isso deixou claro. Obrigado novamente por outra resposta incrível.

— Stan Shunpike

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$x =$ $y =$

$y$ $x$

$U(x, 0) + U(0, y) < U(x,y)$ $x$ $y$

Com nossos sapatos e jogos de computador, certamente o derivado cruzado é 0. Com sorvete e colheres, provavelmente é positivo: ter uma colher aumenta o benefício marginal que você obtém com o sorvete, portanto, uma correlação cruzada positiva.

Por fim, pense em chocolate e sorvete. Alguém poderia argumentar que eles funcionam como substitutos (pense no deserto, por exemplo): você quer um ou outro. Se você obtê-los de graça , com certeza, não dói ter os dois. Mas se você tiver que pagar preços justos, você prefere pagar o preço de uma das opções e cumpri-lo.

— FooBar
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U_{x y} = U_{y x}

$U_{xy} = U_{yx}$