Como se obtém a elasticidade da substituição?

Para duas mercadorias e , a elasticidade da substituição é definida como $x$ $y$

σ \equiv \frac{d \log (\frac{y}{x})}{d \log (\frac{U_{x}}{U_{y}})} = \frac{\frac{d (\frac{y}{x})}{\frac{y}{x}}}{\frac{d (\frac{U_{x}}{U_{y}})}{\frac{U_{x}}{U_{y}}}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}}$

Estou confuso com duas coisas:

Por que simplesmente escrevemos ? Com o que estamos nos diferenciando? $d\log\left(\frac{y}{x}\right)$
Como uso isso para mostrar a relação acima?

Alguém pode explicar?

elasticity

— Stan Shunpike
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Como derivar elasticidade de substituição

O primeiro passo é recuperar a definição de um diferencial. Se você tiver uma função , digamos, , então: $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$ $f(x_1,\cdots,x_n)$

d f = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1} + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}} d x_{n} .

${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n.$

Por exemplo,

d registro v = \frac{1}{v} d v

$d\log v = \frac{1}{v}dv$

Agora suponha que , temos $v = \tfrac{y}{x}$

d registro (y / x) = \frac{d (y / x)}{(y / x)}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$

e para $v = \tfrac{U_x}{U_y}$

d registro ({você}_{x} / {você}_{y}) = \frac{d ({você}_{x} / {você}_{y})}{({você}_{x} / {você}_{y})}

$d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$

Em outras palavras, se você reduzir o problema para (1) entender a definição de um diferencial e (2) usar uma simples mudança de variável , o problema se tornará bem direto.

Você então recebe

σ \equiv \frac{d registro (\frac{y}{x})}{d registro (\frac{{você}_{x}}{{você}_{y}})} = \frac{\frac{d (y / x)}{(y / x)}}{\frac{d ({você}_{x} / {você}_{y})}{({você}_{x} / {você}_{y})}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} }$

A PARTE, DE LADO:

Observe que é importante reconhecer que é um conceito significativo. Você simplesmente aplica a regra do quociente e encontra $d(y/x)$

d (y / x) = \frac{x d y - y d x}{x^{2}}

$d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$

Isso faz sentido porque

d registro (y / x) = d registro (y) - d registro (x) = \frac{d y}{y} - \frac{d x}{x}

$d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

E se você calcular

d registro (y / x) = \frac{d (y / x)}{(y / x)} = \frac{\frac{x d y - y d x}{x^{2}}}{y / x} = \frac{x d y - y d x}{x y} = \frac{d y}{y} - \frac{d x}{x}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

A mesma lógica se aplica a . $d(U_x/U_y)$

Assim, todo está bem definido no sentido em que estamos usando as ferramentas de cálculo corretamente / legalmente. $\sigma$

O que é elasticidade de substituição?

Elasticidade é o quanto% de uma coisa muda em relação a% de mudança de outra. Portanto, nesse caso, é a% de variação na proporção de dois bens em relação a uma única variação de% na para esses dois bens. $MRS$

— Stan Shunpike
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