Preferências do Leontief

Eu posso resolver a maioria dos problemas de maximização de utilidade usando meu conhecimento matemático ... mas não quando se trata das preferências do Leontief. Eu não tenho um livro para me apoiar (sou autodidata), então realmente gostaria de alguma ajuda. Como resolver um problema geral de maximização como que é renda e é o preço do bem ?

max [α x_{1}, β x_{2}, γ x_{3}] subject to λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2} + λ_{3} x_{3} = M

$\max [\alpha x_1, \beta x_2, \gamma x_3] \ \text{subject to } \ \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3 = M$

M

$M$

λ_{i}

$\lambda_i$

i

$i$

Realmente, tudo o que sei sobre derivadas e declives sai pela janela com essa coisa maldita. Se alguém me dissesse quais eram os preços e a renda, a melhor opção, quando existem apenas alguns bens, provavelmente poderia ser encontrada apenas com a aplicação do bom senso, mas e o caso geral? Não existe uma "fórmula" geral como as funções Cobb Douglas e CES? Existe algum método que usamos nesses casos?

— John Gattner
fonte

Para as preferências do Leontief, não há um minoperador ou essa falta?

— FooBar

Está faltando um operador imediatamente antes do suporte. O problema de maximização do utilitário é o seguinte, Considere o caso de dois bens com utilidade dados por . Na melhor das hipóteses, o que você sabe sobre a relação entre e ? Eles devem ser iguais, ou seja, Caso contrário, assuma, sem perda de generalidade, que . Qual é a utilidade de tais opções de e ? Deve ser $\min$

max min [α x_{1}, . . ., γ x_{3}] such that λ_{1} x_{1} + . . . + λ_{3} x_{3} = M

$\max \ \min [\alpha x_1, ..., \gamma x_3] \\ \ \ \text{such that} \ \ \lambda_1x_1 + ... + \lambda_3x_3 = M$

u

$u$

u (x) = min [α x_{1}, β x_{2}]

$u(x) = \min[\alpha x_1, \beta x_2]$

α x_{1}

$\alpha x_1$

β x_{2}

$\beta x_2$

α x_{1} = β x_{2}

$\alpha x_1 = \beta x_2$

α x_{1} > β x_{1}

$\alpha x_1 > \beta x_1$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

β x_{2}

$\beta x_2$ , o que significa que parte do seu dinheiro está sendo gasto em (supondo que os preços sejam estritamente positivos), mas não está fornecendo utilidade extra e, portanto, essa não pode ser uma escolha ideal de consumo.

x_{1}

$x_1$

Segue-se que a igualdade deve se manter ótima (isso também é óbvio graficamente). Juntamente com a restrição orçamentária, isso fornece duas equações e duas incógnitas, que podem ser resolvidas para um consumo ideal. Uma abordagem semelhante pode ser aplicada ao caso de mercadorias. $n$

Obviamente, acima, supomos que estamos lidando com um problema trivial de maximização de utilidade, e não estamos fazendo programação inteira e afins.

— Jaood
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Eu penso que dá 3 equações e 3 incógnitas: , , e . Corrigir?

α x_{1} = β x_{2}

$\alpha x_1 = \beta x_2$

β x_{2} = γ x_{3}

$\beta x_2 = \gamma x_3$

p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + p_{3} x_{3} = M

$p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3 = M$

— Mathemanic