Viés do OLS na estimativa da demanda: o viés sempre subestima a elasticidade da demanda?

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Alguns trabalhos argumentam que o OLS pode produzir menos viés do que a estimativa IV, dependendo da qualidade de seus instrumentos. Suponha que consideremos uma equação de estimativa de demanda.

Suponha que a elasticidade da demanda seja negativa no OLS. Pela minha intuição, instrumentos fracos devem produzir estimativas tendenciosas em relação ao OLS, mas não menos negativas. Vocês podem produzir um exemplo? Eu realmente não consigo entender como isso poderia levar a uma estimativa mais tendenciosa com a estimativa IV.

econometrics

— John Doe
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O IV é tendencioso, mas é consistente, então imagino que sua afirmação seja verdadeira. mas suponho que tudo depende dos seus objetivos. previsão vs inferência.

— User157623

Quais são "alguns trabalhos" (de preferência bem conhecidos ou do tipo revisão crítica) a que você se refere na sua primeira frase? Estou interessado em olhar para eles. Obrigado.

— Kim Jong Un

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$\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$

$\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2}}{n σ_{x}^{2}} \\ \hat{β_{1}^{I V}} & = & \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) y_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} = β_{1} + \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}} & = & v a r (\frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}}) \\ v a r (u | z) & = & σ^{2} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & = & \frac{σ^{2} \frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z})}{n [\frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z}) (x_{i} - \bar{x})]^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}$

$n \to \inf$

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2} σ_{z}^{2}}{σ_{z x}^{2}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & σ^{2} \frac{1}{n σ_{x}^{2}} \frac{1}{ρ_{x z}^{2}} \\ ρ_{x z}^{2} & = & \frac{[σ_{x z}^{2}]^{2}}{σ_{x}^{2} σ_{z}^{2}} for ρ \in [0, 1] \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}$

É por isso que, se o seu instrumento estiver fraco, é melhor executar uma regressão OLS.

— Nox
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Na equação da primeira variância do estimador IV, acredito que esteja faltando a variância do beta imparcial - certo? Você atribui a variação apenas à parte relacionada ao viés do estimador IV. Se estiver errado, explique-me o que está faltando.

— John Doe

A linha seguinte " " não é exatamente a variação (também o numerador perde a notação quadrada, apenas um erro de digitação). O denominador é aleatório (porque é endógeno) e a variação é muito mais complicada.

v a r (u | z) = σ^{2}

$var(u|z)=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

— Chan1142

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Instrumentos fracos combinados com uma leve endogeneidade instrumental podem levar a um viés maior que o OLS. Como mostra a resposta de Nox, o limite de probabilidade do estimador IV é . Quando pequeno, se for pequeno, o viés poderá ser grande. Veja a observação de Bound, Jaeger e Baker (1995, JASA) seguindo a equação (7) na página 444. $\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ $cov(z,u) \ne 0$ $cov(z,x)$

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

"Está claro na Equação (7) que uma correlação fraca entre a variável potencialmente endógena, , e os instrumentos, , exacerbará quaisquer problemas associados à correlação entre o instrumento e o erro, . Se a correlação entre o instrumento e a variável explicativa endógena é fraca, mesmo uma pequena correlação entre o instrumento e o erro pode produzir uma inconsistência maior na estimativa IV de que na estimativa OLS ". $x$ $z_1$ $\varepsilon$ $\beta$

Sem endogeneidade instrumental, não acho que o viés do estimador IV (da distribuição limite, pode não haver limite de probabilidade) seja maior que a inconsistência do OLS.

Outra coisa a considerar é que a variação do estimador IV usando instrumentos muito fracos pode ser grande mesmo com um muito grande e, portanto, você pode ter uma estimativa IV mais absurda do que OLS para um conjunto de dados por acaso. $n$

— chan1142
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