Otimização dinâmica: e se a condição de segunda ordem não for válida?

Considere o seguinte problema de otimização dinâmica

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{T} F (x, u) d t \\ s.t. & \dot{x} = f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$

FOCs

O Hamiltoniano é dado por

\begin{aligned} H (x, u, λ) = F (x, u) + λ f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$ As condições necessárias para otimizar são dadas pelo máximo princípio

\begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial u} & = 0 \\ \frac{\partial H}{\partial x} & = - \dot{λ} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$

Suponha que $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ é um maximizador, ou seja, $H_{uu} < 0$ .

SOC

O Teorema Suficiente da Seta afirma que as condições necessárias são suficientes se o Hamiltoniano maximizado

\begin{aligned} H^{0} (x, λ) = max_{u} H (x, u, λ) \end{aligned}

$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$ é côncavo em

x

$x$ , ou seja, se

H_{x x} < 0

$H_{xx} < 0$ .

Problema

Suponha que os FOCs sejam retidos, mas o SOC falhe.

O que se pode dizer sobre a otimização da solução?

optimization

— sem noção
fonte

Convexidade não é a ausência de concavidade.

— Michael Greinecker

Tirei a parte errada, espero que você não se importe. A resposta é: não muito, tente outra coisa (por exemplo, outra condição de suficiência ou, se você acha que é convexa, mostre que é convexa).

— O Todo-Poderoso Bob

Não existe uma resposta única, isso dependerá dos detalhes de cada problema. Vejamos um exemplo padrão.

Considere o problema de otimização intertemporal de referência para o modelo de Ramsey

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. \dot{k} = i - δ k \\ s.t. y = f (k) = c + i \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$

O valor atual Hamiltoniano é

\tilde{H} = u (c) + λ [f (k) - c - δ k]

$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$

Maximizando sobre sozinho , temos $c$

\frac{\partial \tilde{H}}{\partial c} = u^{'} (c) - λ = 0 ⟹ u^{'} (c^{*}) = λ ⟹ c^{*} = (u^{'})^{- 1} (λ)

$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$

e a condição de segunda ordem será mantida se a função de utilitário for côncava,

\frac{\partial^{2} H}{\partial c^{2}} = u^{″} (c^{*}) < 0

$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$

Além disso, a partir da condição de primeira ordem em relação ao consumo, se a não saciedade local for mantida. Suponha que temos essas preferências "usuais". $\lambda >0$

O Hamiltoniano maximizado sobre o consumo é

{\tilde{H}}^{0} = u [(u^{'})^{- 1} (λ)] + λ [f (k) - (u^{'})^{- 1} (λ) - δ k]

$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$

As derivadas parciais com relação à variável de estado, são $k$

\frac{\partial {\tilde{H}}^{0}}{\partial k} = λ [f^{'} (k) - δ], \frac{\partial^{2} {\tilde{H}}^{0}}{\partial k^{2}} = λ f^{″} (k)

$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$

Portanto, aqui, a condição de suficiência Arrow-Kurz se resume a saber se o produto marginal do capital está diminuindo, constante ou aumentando (o que dependerá do sinal da segunda derivada da função de produção). No caso padrão e temos a condição suficiente. $f''(k) < 0$

No caso mais famoso de desvio, o modelo de Romer, que iniciou a literatura de Crescimento Endógeno, , e o produto marginal do capital é uma constante positiva. $AK$ $f''(k) =0$

Então, o que podemos dizer neste caso?

Aqui, Seierstad, A. e Sydsaeter, K. (1977). Condições suficientes na teoria de controle ideal. International Economic Review, 367-391. fornecer vários resultados que podem nos ajudar.

Em particular, eles provam que, se o hamiltoniano é côncavo em conjunto em e , é uma condição suficiente para um máximo. O Hessiano do Hamiltoniano é $c$ $k$

(podemos ignorar o prazo de desconto)

{H e}_{H} = [\begin{matrix} u^{″} (c) & 0 \\ 0 & λ f^{″} (k) \end{matrix}]

${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$

No caso padrão com essa é uma matriz definida negativa e, portanto, o hamiltoniano é conjuntamente estritamente côncavo em e . $u''(c) <0, \; f''(k) <0$ $c$ $k$

Quando , verificar se a matriz é semidefinida negativa é simples usando a definição. Considere um vetor e o produto $f''(k) =0$ $\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

z^{T} {H e}_{H} z = z_{1}^{2} u^{″} (c) \leq 0

$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$

essa fraca desigualdade é e, portanto, o hessiano é côncavo em conjunto em e . $\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$ $c$ $k$

Portanto, no modelo de crescimento endógeno, a solução é realmente máxima (sujeita às restrições de parâmetros necessárias para que o problema seja bem definido, é claro). $AK$

— Alecos Papadopoulos
fonte

Obrigado. No entanto, acho que devo esclarecer meus motivos. Eu sei que o hamiltoniano não é estritamente côncavo em , nem concacve em conjunto em . Aqui dirige a forma do Hamiltoniano, já que é delimitado. É uma função convexa estrita para pequeno e qualquer e uma função côncava estrita para grande e qualquer . Fiquei me perguntando se podemos fazer uma declaração generosa sobre a otimização nesse caso.

x

$x$

(x, u)

$(x,u)$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

— sem noção

@ clueless Esta é uma pergunta diferente (e interessante), por isso seria melhor fazer isso em um post separado.

— Alecos Papadopoulos