Efeitos de amplificação: Denominador negativo

Deixe $ 0 & lt; \ rho & lt; 1 $ é a taxa de desconto, $ V $ algum valor de opção e $ F $ algum valor fundamental.

$$ \ rho V = \ beta V + F $$

Você tem acesso a algum valor de opção $ V $ que sempre lhe entregará algum valor de fluxo fundamental $ F $, e você terá acesso a outro $ \ beta $ do valor da opção inicial (algum tipo de amplificação do valor inicial / reivindicação) . Resolvendo o valor da opção, obtemos

$$ V = \ frac {F} {\ rho - \ beta} $$

Agora, talvez seja só eu estar confuso falando, mas normalmente aqui só verificamos se $ \ rho - \ beta $ não é exatamente zero.

Por $ \ rho & gt; \ beta $, temos que $ V $ é avaliado muito mais do que o original $ F $. Como posso entender casos em que $ \ rho & lt; \ beta $? Estes são muito possíveis, mesmo para ambos $ \ beta $ e $ \ rho $ entre zero e um. Nesse caso, o denominador fica negativo e o valor da opção $ V $ é negativo. O que está acontecendo?

Exemplo Estendido

Por solicitação popular, aqui está uma versão mais geral do modelo (ainda uma abstração, mas espero que isso forneça contexto suficiente.

Pense em $ V $ como o valor de uma vaga, em um contexto de pesquisa e correspondência. Dada a rigidez do mercado $ \ theta $, você encontrará uma partida na taxa $ q (\ theta) $. As vagas estão associadas ao fluxo e custam $ c $.

Agora, uma vez que você tenha combinado com um trabalhador desempregado, você pode decidir aceitar essa correspondência ($ \ beta = 1) $ ou rejeitá-lo ($ \ beta = 0 $). De fato, toda a linha $ \ beta \ in [0, 1] $ é permitida, entendendo-a como uma estratégia mista. De fato, a estratégia mista pode ser entendida como ações da população, uma vez que a vacância é representativa.

Então, dada a estratégia $ \ beta $, o valor de uma vaga é dado por

$$ \ rho V (\ beta) = -c + q (\ theta) [\ beta (V (\ beta) -J) + (1- \ beta) J] \\ \ Leftrightarrow V (\ beta) = \ frac {-c + q (\ theta) (1-2 \ beta) J} {\ rho - q (\ theta) \ beta} $$

Note que definir $ F \ equiv -c + q (\ theta) (1-2 \ beta) J $ quase recupera a equação inicial.

Agora, tentei resolver isso (ou melhor, uma configuração mais complicada) usando uma grade para $ \ beta $. Mas às vezes, a solução era dada por um $ \ beta $ tal que o denominador era negativo (e pequeno), e o numerador também era pequeno. Eu tentei envolver minha cabeça em torno disso, mas eu não conseguia entender intuitivamente o que isso significa.

Observe que, embora a resposta atual tenha um longo caminho para resolver o modelo para mim, ela na verdade não responde à minha pergunta - sobre o significado de um denominador negativo. Portanto, no estado atual, não concederei essa recompensa e convidarei mais respostas.

$ \ beta $ parece ser um decisão variável, no nível da empresa . Então seu valor deve ser determinado otimamente, sob algum critério. Então, qual é o critério, qual é a função objetivo que deve ser otimizada sobre o valor de $ \ beta $?

Parece que devemos maximizar o valor da opção $ V (\ beta) $

$$ V (\ beta) = \ frac {-c + q (\ theta) (1-2 \ beta) J} {\ rho - q (\ theta) \ beta} $$

A primeira derivada é (vou dispensar $ \ theta $)

$$ \ frac {\ partial V (\ beta)} {\ partial \ beta} = \ frac {-2qJ \ cdot [\ rho - q \ beta] + q \ cdot [-c + q (1-2 \ beta ) J]} {[\ rho - q \ beta] ^ 2} $$

$$ \ implies \ frac {\ partial V (\ beta)} {\ partial \ beta} = \ frac {-2qJ \ rho -cq + q ^ 2J} {[\ rho - q \ beta] ^ 2} = \ frac {q} {[\ rho - q \ beta] ^ 2} \ cdot (-2J \ rho -c + qJ) $$

$$ \ implies {\ rm assinar} \ frac {\ partial V (\ beta)} {\ partial \ beta} = {assinar \ rm} \ big \ {(q-2 \ rho) Jc \ big \} \ tag {1} $$

Então $ V (\ beta) $ é monotônico em $ \ beta $. Portanto, dependendo dos valores obtidos por $ J, \ rho, c, q $, será ideal definir $ \ beta $ igual a $ 0 $ ou $ 1 $.

Suponha agora que $ \ partial V (\ beta) / \ partial \ beta & gt; 0 $. Isso requer que

$$ (q-2 \ rho) J-c & gt; 0 \ implica q & gt; \ frac {c} {J} + 2 \ rho \ implica q & gt; \ rho \ tag {2} $$

Então $ \ beta ^ * = 1 $ e

$$ V ^ * | _ {\ beta = 1} = \ frac {-c - qJ} {\ rho - q} = \ frac {c + qJ} {q- \ rho} & gt; 0 $$

dado $ (2) $.

Por sua vez, assuma que $ \ partial V (\ beta) / \ partial \ beta & lt; 0 $. Isso requer que

$$ (q-2 \ rho) J-c & lt; 0 \ implica q & lt; \ frac {c} {J} + 2 \ rho \ tag {3} $$

Então $ \ beta ^ * = 0 $ e

$$ V ^ * | _ {\ beta = 0} = \ frac {-c + qJ} {\ rho} $$

Para ter $ V ^ * | _ {\ beta = 0} & gt; 0 $ precisamos

$$ \ frac {c} {J} & lt; q & lt; \ frac {c} {J} + 2 \ rho \ tag {4} $$

respeitar também $ (3) $. Então aqui é imposta uma restrição necessária nos parâmetros, para obter um valor positivo para $ V $.

Combinando, se impusermos as restrições

$$ q & gt; \ rho, \; \; \; q & gt; c / J $$

nós permitimos $ \ beta = 1 $ ou $ \ beta = 0 $ (dependerá dos valores exatos dos parâmetros), enquanto ao mesmo tempo garantimos $ V & gt; 0 $ em todos os casos. Isso não é incomum em modelos econômicos, por exemplo. a necessidade de restringir os parâmetros de tal maneira que o modelo forneça soluções que sejam economicamente significativas. E precisamos de $ V $ para ser positivo, porque senão a vaga não existiria em primeiro lugar, como eu entendo a configuração.