Adivinhar e verificar

Na programação dinâmica, o método de coeficientes indeterminados às vezes é conhecido como "adivinhar e verificar". Ouvi periodicamente que existem suposições canônicas que alguém possa fazer.

Em particular, eu já vi

$V(k) = A + B\ln(k)$

$V(k) = \frac{Bk^{1-\sigma}}{1-\sigma}$

O primeiro se aplica ao utilitário de log, enquanto o último está relacionado às preferências do CRRA. Que outras suposições canônicas existem e elas geralmente estão ligadas à forma particular da função de retorno?

$A$ $B$ $V(k) = \max\bigl\{F(k,u) +\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)\bigr\}$ $g(\cdot,\cdot)$ $k$ $k$ $F(k,u)$ $k$ $\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)$ $u$ representa quaisquer outras variáveis não estatais que você acha que influenciam o retorno.

Às vezes é possível obter uma solução de forma fechada para $V(k)$ (... nota: não resolvemos apenas para $V(k)$ pois o lado direito é uma quantidade maximizada). Isso normalmente envolve saber algo sobre a função de retorno $F(k,u)$ e, em seguida, fazer um palpite sobre a forma funcional de $V(k)$ . Podemos então iterar para ver se nosso palpite produz uma solução de forma fechada para $V(k)$ . Em particular, isso incluiria formas fechadas para os coeficientes na suposição (daí o método de coeficientes indeterminados).

macroeconomics dynamic-programming

— Pat W.
fonte

Depende do tipo de dados que você possui. Em geral, quase todas as funções podem ser executadas. Mas se você acha que os dados são distribuídos como uma função de utilidade, pode usar Nesse caso, você pode linearizar a equação: Para estimar os coeficientes e você pode aplicar o método dos mínimos quadrados: en.wikipedia.org/wiki/Least_squares

U (x, y) = x^{α} \cdot y^{β}

$U(x,y)=x^{\alpha}\cdot y^{\beta}$

l n (U) = α \cdot l n (x) + β \cdot l n (y)

$ln(U)=\alpha\cdot ln( x)+\beta \cdot ln(y)$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— callculus

@calculus Ele não está perguntando sobre a estimativa de e . Ele está perguntando sobre programação dinâmica e o método de adivinhação e verificação como um método para obter a função de valor que corresponde a funções utilitárias específicas.

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Cc7768

@ cc7768 Esta questão não é muito específica. Não sei o que o OP quis dizer com programação dinâmica nesse contexto. Eu só queria dar algumas dicas. Tive a impressão de que o OP não tinha certeza do que estava perguntando. O OP pode fazer uma edição para esclarecimentos.

— CalculoJul

Outra forma um tanto canônica é a função de valor para preferências sensíveis ao risco quando o consumo segue uma caminhada aleatória com desvio (também existem versões que incluem capital - veja Backus Ferriere Zin 2014).

c_{t} = μ + c_{t - 1} + σ_{c} ε_{t}

$c_t = \mu + c_{t-1} + \sigma_c \varepsilon_{t}$

Comece com as preferências dadas como Epstein-Zin com uma função de equivalência de certeza na forma : $\mu_t(x) = E_t[x_{t+1}^\alpha]^{\frac{1}{\alpha}}$

V_{t} = {((1 - β) C_{t}^{ρ} + β μ_{t} (V_{t + 1}))}^{\frac{1}{ρ}}

$V_t = \left( (1 - \beta) C_t^{\rho} + \beta \mu_t(V_{t+1}) \right)^{\frac{1}{\rho}}$

então deixar nos dar $\rho \rightarrow 0$

V_{t} = C_{t}^{1 - β} {[μ_{t} (V_{t})]}^{β}

$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[\mu_t(V_t) \right]^{\beta}$

V_{t} = C_{t}^{1 - β} {[E_{t} [V_{t}^{α}]^{\frac{1}{α}}]}^{β}

$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[E_t[V_t^{\alpha}]^{\frac{1}{\alpha}} \right]^{\beta}$

A obtenção de logs nos dá preferências sensíveis ao risco, conforme apresentado em Hansen Sargent 1995, Tallarini 2000, etc ...

Defina e então, vemos que: $U_t = \log(V_t)/(1-\beta)$ $\theta = \frac{-1}{(1-\beta) \alpha}$

U_{t} = \log (C_{t}) - β θ \log [E_{t} [\exp (\frac{- U_{t + 1}}{θ})]]

$U_t = \log(C_t) - \beta \theta \log \left[ E_t \left[ \exp \left( \frac{-U_{t+1}}{\theta} \right) \right] \right]$

A forma dessa função de valor pode ser adivinhada como:

U_{t} = γ_{0} + γ c_{t}

$U_t = \gamma_0 + \gamma c_t$

Referências:

David Backus, Axelle Ferriere e Stanely Zin. Risco e ambiguidade em modelos de ciclos de negócios. Conferência Carnegie-Rochester-NYU. 2014.
Lars Ljunqvist e Thomas J. Sargent. Teoria Macroeconômica Recursiva, 3ª Edição. 2013.
TD Tallarini Jr. Ciclos de negócios reais sensíveis ao risco. Revista de Economia Monetária. 2000.
LP Hansen e TJ Sargent. Controle gaussiano quadrático exponencial linear com desconto. Controle Automático de Transporte IEEE. 1995.

Comentário adicional: Os dois casos que você apresenta são mais ou menos abrangidos pelo palpite pois isso reduz a logs como . As suposições certamente estão ligadas à forma particular da função de retorno, pois a função de valor está relacionada à função de retorno de um período (recompensa) obtida repetidamente ao longo de uma história infinita (se o consumo fosse constante, isso reduziria a uma soma geométrica). $V(k) = A + B \frac{k^{1-\sigma}}{1 - \sigma}$ $\sigma \rightarrow 1$

— cc7768
fonte

Bom argumento sobre as preferências de log como um caso especial. Essa é uma ótima resposta, e planejarei mantê-la aberta por mais um tempo para ver se outras pessoas também têm outras formas canônicas.

— Pat W.