Existência de Representação Linear

Considere uma relação de preferência $ \ succeq $ em $ X = \ mathbb {R ^ 2 _ {+}} $. Se $ \ succeq $ satisifies: $$ \ begin {align} & amp; 1. \ mbox {} (a_1, a_2) \ sucess \ u00e1 (b_1, b_2) \ implica (a_1 + t, a_2 + s) \ sucess \ u00e3o (b_1 + t, b_2 + s), \ para todos t, s \ \ & 2. \ mbox {} a_1 \ geq b_1 \ mbox {e} a_2 \ geq b_2 \ implica (a_1, a_2) \ succeq (b_1, b_2) \ mbox {(e o análogo para} \ succ \ mbox {) } \\ & amp; 3. \ mbox {Continuidade} \ end {align} $$ Então: existe uma representação linear para $ \ succeq $.

Alguém poderia me dar algumas dicas sobre como provar isso?

Obrigado por ajudar! : D

Que tal isto: Para cada vetor $ (x, y) $, existe um único $ z \ in \ mathbb R $ tal que $ (x, y) \ sim (z, z) $. WLOG assume $ x \ geq y $. Então, para ver esta afirmação, primeiro avise por A2 que $ (x, x) \ suceda (x, y) \ suceda (y, x) $. Em seguida, percorrendo os $ 45 ^ \ circ $ de $ (y, y) $ até $ (x, x) $, o A3 garante a existência de nossos $ z $. (Estrita) Monotonicidade garante exclusividade da maneira óbvia. Deixe $ u: (x, y) \ mapsto z $ onde $ z $ é definido dessa maneira.

Agora vamos $ (x, y) \ sim (z, z) $ e $ (x ', y') \ sim (z ', z') $. Então pela A1 nós temos \ begin {align} (x + x ', y + y') & sim (z + x ', z + y') \\ (x '+ z, y' + z) e sim (z '+ z, z' + z) \ end {align} então por transitividade, $ (x + x ', y + y') \ sim (z + z ', z + z') $. Verificar se $ u $ é contínuo é trivial.

Então, $ u $ é aditivo e contínuo. Como esta postagem no Math SE explica se $ \ mathbb R ^ 2 \ to \ mathbb {R} $ é aditivo e contínuo, então é linear.