Macroeconomia intermediária: pacote ideal para a utilidade quasilinear?

Como eu iria resolver essa questão:

Assumindo que a função de utilidade do consumidor é $ U (C, L) = c + 2l ^ {0.5} $, o consumidor ganha um salário de 0,5 / hora, $ h = 24 $ e não há dividendo real e o imposto é $ T = 11 $ . encontrar:

uma. A quantidade máxima de lazer que a família pode ter e ainda pagar impostos
b. encontrar o pacote ideal de consumo e lazer.

Para a parte (a), peguei a derivada de $ U $ em relação a $ L $ e a coloquei em 0, dando-me $ l ^ {0.5} = 0 $ e $ l = 0 $. Esta parte está correta? Intuitivamente, isso parece muito errado para mim.

Eu também estou preso na parte (b). Eu peguei a derivada do utilitário em relação a $ C $. Pelo que entendi, a MRS é a derivada de $ U $ em relação a $ L $ sobre a derivada de $ U $ em relação a $ C $. Acabei recebendo $ 1 / (L ^ {0.5}) $.

Eu sei que o pacote ideal é quando a linha orçamentária é tangente à curva de indiferença e também sei que a inclinação da linha orçamentária seria de R $ -W $. No entanto, quando eu resolvo por $ 1 / (L ^ {0.5}) = 0.5 $, acabo recebendo $ L = 4 $ e $ C = -1 $. Não faz sentido para mim que um consumidor possa ter um consumo negativo.

Ficaria muito grato se alguém pudesse apontar onde eu errei!

Da função de utilidade, parece que L é lazer.

a) Eu acho que você foi a) de uma maneira errada. Para um, simplesmente você quer trabalhar o mínimo possível, mas pode pagar 11 em impostos. Então você vai querer ganhar exatamente 11USD e não mais (ganhar mais significa trabalhar mais, o que você quer minimizar). Então, a 0,50USD por hora você tem que trabalhar 22 horas. Desde h = 24, o máximo de lazer que você pode ter é 24-22 = 2.

b) Onde você está indo errado em sua abordagem analítica para b) não está incluindo a restrição orçamentária em seu problema (ao tomar derivados), que você deve, como você explicou para a análise gráfica.

Para o consumo, você tem despesas - renda: p * c = salário * trabalho - T (tecnicamente uma desigualdade, mas neste caso você pode assumir que vale igualdade). Eu sugeriria usar um langrangiano com essa restrição. Você também tem a restrição que Lazer = 24 trabalho. Isso você pode ligar diretamente e é aconselhável para que seu problema tenha apenas duas incógnitas (c e mão de obra). Resolver este problema agora deve fazer o truque.

A primeira questão não tem nada a ver com a otimização de utilitários e, portanto, com a função de utilidade. Apenas determina um limite, e é a solução para a desigualdade

$$ (24-l) \ cdot \ frac 12 \ geq 11 $$

desde $ (24-l) $ representa quantidade de trabalho em horas.

A tarefa de otimização é

$$ \ max _ {c, l} U (c, l) = c + 2l ^ {1/2} \\ $$

$$ s.t. \; \; c = (24-l) \ cdot \ frac 12 -11, \; \; c \ geq 0, \; \; l \ geq 0 $$

Devido à existência do imposto fixo, as restrições de não negatividade importam . É por isso que o OP acabou tendo um consumo negativo, porque ela não considerou as restrições de não negatividade.

Agora, em vez de optar por um tratamento formal com os multiplicadores não negativos de Karush-Kuhn-Tucker, a primeira pergunta é útil. Como existe uma máximo quantidade de lazer em que ponto o consumidor é apenas capaz de pagar impostos (e por isso tem consumo zero), segue-se que a variável "lazer" não pode ter um valor maior do que isso, porque levará ao consumo negativo.

Então pode-se raciocinar tomando as derivadas parciais da função utilidade, e se perguntar "se uma diminuição do lazer um pouco abaixo do seu nível máximo permissível, o que eu perco em termos de utilidade do lazer perdido, e o que eu ganho em termos de utilidade? em termos de consumo ganho? " Também ajudará a considerar os dois extremos: Qual é a utilidade quando o lazer é máximo e o consumo é zero? Qual é a utilidade quando o lazer é zero e o consumo é máximo? Não se esqueça de pagar os impostos (muito pesados) primeiro.